数Aの論理と集合で

質問

nは整数とする。下の問題をを証明したんですが

n^2+5n+4は偶数である

私はn=2k 2k+1 3k 3k+1 3k+2 (kは整数）

と5パターンでやってみたんですが、解答は

3k 3k+1 3k+2　　の3パターンだけでした。

残りの2パターンはどうしてやらなくても証明できてしまうのか理解できません。教えてください

回答No.5

ticky · ベストアンサー

なぜ、あなたは５通り計算したのでしょうか。

他の方が回答されているように、
2n、2n+1だけでも十分です。
なぜなら、「2n、2n+1」だけで、「すべての整数が表現できている」からです。

また、2n、2n+1という表現にすることによって、問題が解きやすくなります。
つまり、2nは偶数で、2n+1は奇数ですよね。
実際に、「2n、2n+1」（偶数と奇数）を代入して、計算して、
「２×(整数)」と表現できる計算結果が出てきたら、「n^2+5n+4は偶数」ですし、
「２×(整数)＋１」と表現できる計算結果が出てきたら、「n^2+5n+4は奇数」だということになります。

もちろん、
3n、3n+1、3n+2でも、「すべての整数が表現できている」といえますが、この問題では、3n、3n+1、3n+2と場合分けすることによって、問題が簡単になったわけではありません。
代入して計算しても、「２×(整数)」、「２×(整数)＋１」というような結果が出てくるわけではありません。
これでは「n^2+5n+4は偶数である」ことは証明できませんので、証明するには、何か別の方法を考える必要があります。

この回答でわからないところがあれば、補足してください。

回答No.7

es32

証明はしませんが、要は
「偶数×奇数（任意の数）＝偶数」ってことですね。

回答No.6

fushigichan

shiro-maiさん、こんにちは。
みなさんの回答のとおりだと思います。

＞n^2+5n+4は偶数である

これを証明するには、
n=2kのときと、n=2k+1のときに分けるだけで十分かと思います。

＞私はn=2k 2k+1 3k 3k+1 3k+2 (kは整数）
と5パターンでやってみたんですが、解答は
3k 3k+1 3k+2　　の3パターンだけでした。

n=2k,2k+1とするときと
n=3k,3k+1,3k+2とするときは重複している場合がありますよね。
n=2kのときは、つまりnが偶数のときで
n=2k+1のときは、つまりnが奇数のとき、となります。
n=3kのときは、nは３の倍数ですし
n=3k+1は、３で割ったときに1余るような数。
n=3k+2は、３で割ったときに２余るような数のことです。
たとえば、n=6なんかは、n=2kの場合でもあるし
n=3kの場合でもあることになるので、重なってしまいます。
だから、
n=2k,nk+1のとき、と、２つに場合わけするのか、
n=3k,3k+1,3k+2と、３つに場合分けするのか、どちらかでいいことになりますね。

n^2+5n+4が偶数かどうかを聞いているのですから
n=2kのとき、n=2k+1のときの２とおりに場合わけするのでいいと思うのですが
もしかして、(2)として、nが３の倍数であるかどうか調べよ、
という問題もあるのかも知れないですね。
だから、n=3k,3k+1,3k+2の３とおりに分けているのかな？

解法としては、
n^2+5n+4=(n+1)(n+4)
と因数分解することで、簡単になりますね。

n=2kのとき、n+4=2k+4=2(k+2)←２の倍数
よって、(n+1)(n+4)=２の倍数
なので、偶数。

n=2k+1のとき、n+1=2k+1+1=2(k+1)←２の倍数
よって、(n+1)(n+4)=２の倍数
なので、偶数。

となって、どちらにせよ、n^2+5n+4は偶数であることがいえます。

試しに、n=3k,3k+1,3k+2のときを考えてみましょうか。

n=3kのとき、
n^2+5n+4=(3k)^2+5(3k)+4=9k^2+15k+4=(3k+1)(3k+4)
ここで、3k=2m(偶数）のとき、3k+1は奇数であるが
3k+4=2m+4=2(m+2)←偶数
となるので、n^2+5n+4もまた偶数。
3k=2m+1のとき、
(3k+1)=(2m+1+1)=2(m+1)←偶数
となるので、やっぱり積は偶数になる。

n=3k+1のとき
n^2+5n+4=(n+1)(n+4)=(3k+1+1)(3k+1+4)=(3k+2)(3k+5)
3k=2m（偶数）のとき、3k+2=2m+2=2(m+1)←偶数なので
(3k+2)(3k+5)もまた偶数。
3k=2m+1のとき、
3k+5=2m+1+5=2m+6=2(m+3)←偶数
となるので、やっぱり積は偶数。

n=3k+2のとき
n^2+5n+4=(n+1)(n+4)=(3k+2+1)(3k+2+4)=(3k+3)(3k+6)
ここで、3k=2m(偶数）のとき3k+6=偶数なので
(3k+3)(3k+6)もまた偶数。
3k=2m+1のとき、
3k+3=2m+1+1=2(m+1)←偶数
となるので、やっぱり積は偶数。

よって、いずれの場合も偶数となる。

・・・のように証明できますが、これだと
n=3k,3k+1,3k+2と３通りに場合わけしたうえで
なおかつ、3k=2mのときと、3k=2m+1のときの2通りに分けなければいけないので
手間が余計にかかっちゃうんじゃないかな、と思います。

この問題では、n=2kのときと、n=2k+1のときに場合わけするのが理にかなっていると思います。
頑張ってください！！

回答No.4

noname#24477

問題、間違ってませんか？

確かに偶数になりますが、この問題でその解答はありません。

偶数であることを証明するのに３で分けてもしょうがないです。
それだとまたｋが偶数、奇数で場合を分けなければいけなくなるでしょう。

問題が間違っていないのなら
２ｋと２ｋ＋１でやるのが正解です。

回答No.3

liar_adan

この問題は、
2kと2k+1、3kと3k+1と3k+2、どちらかで証明すればいいわけですよね。
どっちかのまとまりで「整数」は尽くされているから。

普通、2kと2k+1に分けてやりそうなものですけどね。
そっちの方が明らかに簡単だし。
解答は、なんで、難しい方にしたんだろ？
解答担当の人が勘違いしたか、あるいは問題の流れからそうなったか…。

これは回答ではありませんが、不思議に思ったので。

回答No.2

xdot

今回の質問の回答は、「すべての整数nは、kを整数として
　3k,3k+1,3k+2
で表せるから」ということでいいと思います。
これは、整数nは、３で割ったら「割り切れる」「1あまる」「2あまる」のいずれかってことですね。

同じように考えれば、
　2k,2k+1 だけをやってもいいし、
　4k,4k+1,4k+2,4k+3 だけを使ってもいいということです。じゃあ、何を使ったらよいかというと、一番簡単なのを使えばいいってことですね。それを選ぶのが難しいんですが・・・。

ところで、今回の数学の問題は、
n^2+5n+4=(n+1)(n+4)
と因数分解できますね。n+1,n+4のいずれかは必ず偶数になりますよね。それをつかったらまずいんですか？
すなわち、nを2k,2k+1とすれば、
　n=2kのときは　　n+4=2k+4=2(k+2)・・・偶数
　n=2k+1のときは　n+1=2k+2=2(k+1)・・・偶数
となります。

回答No.1

tsukasa-12r

「nは整数」ということは、n は必ず 3k、3k+1、3k+2 のいずれかになりますよね。
つまり、n=2j のパターンは 3k、3k+1、3k+2 のいずれかになるはずで、n=2j+1 も 3k、3k+1、3k+2 のいずれかになるはずだからですね。
逆に、2k、2k+1 のパターンで証明できるのであれば、3k、3k+1、3k+2 のパターンでの証明は不要だと思います。