• ベストアンサー
※ ChatGPTを利用し、要約された質問です（原文：高校の積分）

高校の積分の証明と解法について

このQ&Aのポイント
  • 高校の積分に関する証明問題と解法についてまとめました。
  • 問題（１）の証明では、1＜＝Ｋ＜Ｎが成り立つときに、Ｎに対してＫとＮを用いた不等式を証明する方法を紹介しました。
  • 問題（２）の証明では、すべての整数ＮについてＳ（Ｎ)＜1.7が成り立つことを証明する方法を説明しました。

質問者が選んだベストアンサー

  • ベストアンサー
  • hugen
  • ベストアンサー率23% (56/237)
回答No.1

1≦k＜n 　が成り立つとき 1+1/2^2+1/3^2+・・+1/k^2+1/(k+1)^2+・・+1/n^2 ＜1+1/2^2+1/3^2+・・+1/k^2+1/k(k+1)+・・+1/(n-1)n ＝1+1/2^2+1/3^2+・・+1/k^2+{1/k-1/(k+1)}+・・+{1/(n-1)-1/n} ＝1+1/2^2+1/3^2+・・+1/k^2+1/k-1/n ＜1+1/2^2+1/3^2+・・+1/k^2+1/k ∴　1+1/2^2+1/3^2+・・+1/n^2＜1+1/2^2+1/3^2+・・+1/k^2+1/k k=1,2,3,・・ を代入 1+1/2^2+・・+1/n^2＜1/1^2+・・+1/k^2+1/k＝2 , 1.75 , 1.6944・・＜1.7 1≦k＜n だから　k=3 のとき　3＜n で n≦3 のときは、　　1＜1+1/2^2＜1+1/2^2+1/3^2＜1+1/2^2+1/3^2+1/3＜1.7

yuu1800
質問者

補足

解答ありがとうございます。 解答者さんはお気づきになっているようですが Ｓ（Ｎ）＝１＋1/（2＾2）＋1/（３＾３）・・・・＋１/（Ｎ＾２） ではなくて Ｓ（Ｎ）＝１＋1/（2＾2）＋1/（３＾２）・・・・＋１/（Ｎ＾２） でしたね。 誠に申し訳ないです　すいません

全文を見る
すると、全ての回答が全文表示されます。
  1. カテゴリ
  2. 学問・教育
  3. 数学・算数

関連するQ&A

  • 数I数と式の問題

    【問題】nが５の倍数でない自然数の時、「n＾４を５で割ると１余る」ことを証明せよ これを解くときに、いろんなやり方があると思うんですがまず 「nは５の倍数でないので、n＝５ｋ±１、n＝５ｋ±２（ｋは整数）」と置くとしますね？ このとき、問題にはnは”自然数”ってあるんだから、ｋは「整数」ってだけだとnが負になることも出てこないでしょうか… 問題集の解答には整数、と書いてあるのですが、私は「ｋは自然数」か「ｋは正の整数」とかってしなくていいのかなぁ…と思ってしまうのですが、「ｋは整数」だけでいいならその理由をどなたか教えてください（> <) 些細なことなんですが、解答するとき、この部分だけがどうしても気になって…

  • n^n　+1が３で割り切れるもの

    「(1)正の整数ｎでn^3 +1 が３で割り切れるものをすべて求めよ (2)正の整数ｎでn^n +1 が３で割り切れるものをすべて求めよ」 (1)なのですが、n=3k、n=3k+1、n=3k-1のときに分けて計算したところn=3k-1すなわちnが3で割って２余るときが適することがわかりました。しかし「すべて」求めるという問題文からするとダメなのかな？と思ったのですがどうなのでしょうか？ (2)なのですが、(1)と同じようにできそうかなと思ったのですがなかなかうまくいきませんでした。(1)を利用するということはできるのでしょうか？ 回答いただければ幸いです。よろしくお願いします

  • 数学的帰納法

    先日模試があったのですが、自分の解答のどこが誤りなのか分かりません…。 nを正の整数とする。xとyの方程式 3x+4y=n…ア について、次の問に答えよ。 問　kを正の整数とする。n=3k+1のとき、方程式アを満たす0以上の整数x,yが存在することを示せ。 自分の解答↓ 1)n=4のとき　ア⇔3x+4y=4 (x,y)=(0,1)はこれを満たすので、このときアを満たす0以上の整数x,yは存在する。 2)n=3k-2(k=2,3,4…)のとき、 アを満たす0以上の整数x,yは存在すると仮定する。 このとき、x=α、y=β（α、βは0以上の整数）とすると、 3α+4β=3k-2…イ　が成立する。 このとき、n=3k+1のときでもアを満たす0以上の整数x,yは存在することを示す。 3x+4y=3k+1…ウとする。 ウ－イ　3(x-α)+4(y-β)=3であり、(x-α、y-β）=（1,0)はこれをみたすから、(x,y)=(1+α、β)はウをみたす。 よって、n=3k+1のときでも、アを満たす0以上の整数x,yは存在する。 以上のことから3でわると1余る4以上のすべての自然数ｎについて、アをみたす0以上の整数x,yは存在することが示された。 よって題意は示された。 と解答したのですが…。 実際解答したときは、かなり急いでいたので、2)→1)のように、 「n=3k-2で成り立つことを仮定」→「n=3k+1で成り立つ」→「n=4のとき成り立つ」というふうに順序が少し変になってしまいました。 採点欄のところには「仮定を用いてるので証明とはいえない」と書かれてしまったのですが、数学的帰納法を用いるなら、仮定を用いるのはふつうではないのでしょうか？ 数学的帰納法だと伝わらなかったのでしょうか？？ そもそも根本的におかしいのでしょうか？？ どなたかお願いします。

  • 証明方法の違い

    こんにちは。 毎度利用させて貰っている進学ナビの回答者の皆様に厚く感謝の意を示したく存じます。 今回は「証明方法」の違いということになりますが、恐らくとても単純であり、「悩むところじゃないよ」などといわれてしまうかもしれませんが、やはりもやもやを解消させたくて、質問するにいたりました。質問内容は以下の通りでございます。 質問：nを整数とし、S=(n-1)^3+n^3+(n+1)^3とする。（Sが偶数の時、nは偶数であることは証明済みであるとして）Sが偶数の時、Sは36で割り切れることを示せ。 ＜自身の考え＞ 「Sは36で割り切れる」の証明⇔「Sは4で割り切れ、且つ9でも割り切れる」の証明へ置き換えます。 ここで S=3n(n^2+2)となり、Sが偶数の時nも偶数から、3n=偶数、(n^2+2)=偶数 なので、少なくともSは4で割り切れることがわかりました。 そして最後にSは9で割り切れることを証明すればよいのですが、ここからが質問です。（前置きが長くてすみません。） 解答には n=3k、3k+1、3k+2(kは整数)で場合わけが行われておりましたが良くわかりません。これではn=偶数とすでに証明されているのに、n=3などの奇数の場合も考えてしまうことになります。確かにn=6のときは偶数へとなりますが・・・。 またなぜn=3k、3k+1、3k+2なのでしょうか。全体の数字を表すのには n=3k-2、n=3k-1、n=3kとしたほうが全体の数字に及びます。解答どおりだとn=3kからですからn=1、2と時は考慮できなくなってしまい・・・。 する必要がないのか・・・・（混乱中）。 それにnは偶数だとわかっているのでn=2kでもいいはずです。しかし、そうすると確かにS=24k^3+12kとなり、9でくくれません。n=2kとしないのは9で割り切れる証明に困るから、というだけで、実質ありなのですか？ 質問がぐちゃぐちゃですいません。 まさに今の自分の頭の中でございます。 お時間の許す限り、お願いします！

  • 組み合わせの問題です

    正ｎ角形がある(ｎは3以上の整数) この正ｎ角形のｎ個の頂点のうちの3個を頂点とする三角形について考える ｎ＝６K(Kは正の整数)であるとする。このとき、Kを用いて表すと、正三角形の個数は(ァ)であり、直角三角形の個数は(イ)である 解答はァが2K、イが６K(3K―１)です 解説がないためどなたか教えてください。よろしくお願いいたします。

  • [高校数学Ｂ]数列

    x_1=1 x_(n+1)=√(x_n +6) (n=1,2,3,…) で定められる数列{x_n}が単調増加であることを示せ。 という問題についてですが、 x_1=1 x_2=√7ゆえ x_1<x_2 ここで、x_k<x_(k+1)と仮定すると、 ⇔x_k +6<x_(k+1) +6 ⇔√(x_k +6)<√{x_(k+1) +6} ⇔x_(k+1)<x_(k+2) 以上より全ての自然数nについて、x_n<x_(n+1)が成り立つので、 数列{x_n}は単調増加である。…(終) と解答したのですが、この答案でも問題ないでしょうか？ 模範解答はx_(n+1)^2 - x_n^2>0を示して証明しています。

  • {9^(n+1)-8n-9}/64になる証明

    {9^(n+1)-8n-9}　(n=正の整数) という数字が64で割れることを二項定理を使って証明したいのですが、分かりません。 自分でやってみたところ、 (1+8)^n=…… ↓ 9^n-8n-1=64k ↓ 9^(n+1)-8n*9-9=64k*9 というところまで、できましたが次何すればいいのかわかりません。 回答お願いします。

  • 整数について。

    3∧n＝k∧2 ー40を満たす正の整数n,k を全て求めよ。この問題をご教授下さい。すみませんが。

  • 総和の最小値

    S(n)=｜n-1｜+｜n-2｜+…+｜n-100｜(n∈整数)の最小値とそのときのnの値を求めよ 解答を見た中で、 S(n)が最小になるのが1＜n＜100(2≦n≦99)となるのは分かるのですが、 この時S(n)=Σ[k=1からn-1](n-k)+Σ[k=n+1から100](k-n)となる理由が{(n-1)+(n-2)+…+2+1}+{1+2+…+(99-n)+(100-n)}と分解してもわかりません また、S(n+1)-S(n)=｜n｜-｜n-100｜となるのは分かるのですが、これからnが50より大きいか同じか小さいとなる理由がわかりません 分からないところが多く申し訳ないのですが、ご教授お願いします

  • 帰納法と背理法の注意点について

    「nを正整数とする。(2^n) + 1は１５で割り切れないことを示せ。」という問題です。 解答は帰納法で解くのではなく、nを具体化していくと１５で割ったあまりが3,5,9,2・・・のパターンで推移していくのを証明すればいい問題なのですが、これに対して私は帰納法と背理法をミックスして以下のように解こうと思ったのですがだめですか。 (2^n) + 1は１５で割り切れると仮定し、それを帰納法で表す。 n=1のとき3となり15で割り切れない。 n=kのとき１５で割り切れると仮定する。つまり (2^k) + 1=15m ⇔2^k=15m-1・・・(1)が成り立つと仮定する。 (1)より (2^k+1)=2(15m-1) =15・2m - 2 となり矛盾する。よって(2^n) + 1は１５で割り切れない・・・(終） どこかおかしそうな気がするのですが、結論として帰納法は帰納法単独でしか使えないのでしょうか。この問題は帰納法単独だけでは「(2^n) + 1は１５で割ると１３余る数ではない」ということしか証明できないので困ります。 よろしくおねがいします。

注目のQ&A

カテゴリ

専門家に質問してみよう

職業から探して質問する

あなたにピッタリな商品が見つかる！ OKWAVEセレクト

質問する