高校の積分

質問

正の整数Ｎに対し、Ｓ（Ｎ）＝１＋1/（2＾2）＋1/（３＾３）・・・・＋１/（Ｎ＾２）とおく。
（１）1＜＝Ｋ＜Ｎが成り立つとき、整数Ｋ、Ｎに対して　
　　　　　　　　　1/（Ｋ＋１）ーＮ/（Ｎ＋１）＜Ｓ（Ｎ）－Ｓ（Ｋ）＜１/Ｋ-1/Ｎ
　　　を証明せよ。

（２）すべての整数ＮについてＳ（Ｎ)＜1.7が成り立つことを証明せよ。

（１）は解けたのですが、（２）は解答を見ても分かりません

解答では
Ｓ（１）＝１、Ｓ（２）＝5/4、Ｓ（３）＝49/36よりＮ＝1、2、3は成り立つ。
ところで（１）から、
　　　　Ｓ（Ｎ）＜Ｓ（Ｋ）＋1/Ｋ-１/Ｎ
ここでＫ＝３とすると、Ｎ＞＝４で
　　　　Ｓ（Ｎ）＜Ｓ（３）＋1/3-１/Ｎ＜1.7
以上より、すべての整数ＮについてＳ（Ｎ)＜1.7が成り立つ。（証明終わり）

この回答で

(1)この回答に至るプロセス。（２）がこの回答で解けた人になぜこれが思いついたか教えてほしいです。

(2)なぜ、Ｎ＝１、２、３をわざわざ求めて、Ｎ＞＝４とは別にしたか？

(3)なぜＫ＝３と置いたのか？Ｋは３以外にもありえるので、ここでＫ＝３と限定してしまったらダメでは？

以上３点をご教授お願いします。

回答No.1

hugen · ベストアンサー

1≦k＜n 　が成り立つとき
1+1/2^2+1/3^2+・・+1/k^2+1/(k+1)^2+・・+1/n^2
＜1+1/2^2+1/3^2+・・+1/k^2+1/k(k+1)+・・+1/(n-1)n
＝1+1/2^2+1/3^2+・・+1/k^2+{1/k-1/(k+1)}+・・+{1/(n-1)-1/n}
＝1+1/2^2+1/3^2+・・+1/k^2+1/k-1/n
＜1+1/2^2+1/3^2+・・+1/k^2+1/k
∴　1+1/2^2+1/3^2+・・+1/n^2＜1+1/2^2+1/3^2+・・+1/k^2+1/k
k=1,2,3,・・ を代入
1+1/2^2+・・+1/n^2＜1/1^2+・・+1/k^2+1/k＝2 , 1.75 , 1.6944・・＜1.7
1≦k＜n だから　k=3 のとき　3＜n で
n≦3 のときは、　　1＜1+1/2^2＜1+1/2^2+1/3^2＜1+1/2^2+1/3^2+1/3＜1.7

補足

解答ありがとうございます。

解答者さんはお気づきになっているようですが
Ｓ（Ｎ）＝１＋1/（2＾2）＋1/（３＾３）・・・・＋１/（Ｎ＾２）
ではなくて
Ｓ（Ｎ）＝１＋1/（2＾2）＋1/（３＾２）・・・・＋１/（Ｎ＾２）
でしたね。

誠に申し訳ないです　すいません