組み合わせの問題です

質問

正ｎ角形がある(ｎは3以上の整数)
この正ｎ角形のｎ個の頂点のうちの3個を頂点とする三角形について考える
ｎ＝６K(Kは正の整数)であるとする。このとき、Kを用いて表すと、正三角形の個数は(ァ)であり、直角三角形の個数は(イ)である
解答はァが2K、イが６K(3K―１)です
解説がないためどなたか教えてください。よろしくお願いいたします。

回答No.2

naniwacchi · ベストアンサー

#1です。
直角三角形の方が先にわかったということで。
おそらく「直角三角形になる条件」がわかったので、先なんでしょうね。
単純には、正三角形の方が難易度は低いと思います。

で、もうちょっと付け加えておくと、
正三角形の頂点の一つを決めると他の二つの頂点も決まります。
正三角形の頂点を A, B, Cとすると、頂点Aを決めれば Bも Cも決まるということです。
そして、頂点Aを順次移動させる（回転させていく）のですが、
そのまま回していくと「重なる」ときが出てきます。
その重複を排除することで、答えが導かれます。

直角三角形の場合は重複が出てこないので、そのまま答えにたどり着けますが、
それよりも「直径」に気づくところがポイントになっています。

似たような過去の質問があったので、参考までに。（さらに難易度が高めですが）
http://okwave.jp/qa/q7287557.html

参考URL：

http://okwave.jp/qa/q7287557.html

お礼

補足のヒントわざわざありがとうございます。図を書いてみたところ、六角形では2個、１2角形では４個となりましたので、解答が2Kらしいので、では、１８角形は６個かな？ということにしておきました。私の頭ではこれ以上無理そうなので、ギブアップです。

補足

今もう一度規則制ないか考えてみました。六角形では６－3＝3、3÷3＝１で、正三角形の2点間に１点存在、回転を考えると、１＋１＝2個、１2角形は、１2－3＝９、９÷3＝3、正三角形の2点間に3点存在、回転を考えると3＋１＝４個、同様に１８角形は１８－3＝１5、１5÷3＝5、正三角形の2点間に5点存在、回転を考えると5＋１＝六個、同様に規則性を使って考えていくと、2Kという結論に達しました。 でいいのかな？

回答No.1

naniwacchi

正三角形→頂点のひとつを決めれば、正三角形も決まる。
重複するものが出てくることに注意。

直角三角形→直角三角形の斜辺が円の〇〇であることから考える。

お礼

ご回答ありがとうございます。あたえてくださったヒントにより、直角三角形のほうはできました。正三角形はまだわかりませんが、考えてみます。