大数の法則と矛盾について

質問

前提条件：理想的なコインを投げる物とします。
1000回表が出た後、次も表の出る確率は1/2。
しかし、大数の法則で考えてみると、次に表がでる確率はほぼ0％（1/2の1001乗分の1）である。
独立試行であり次に影響がないとはいえ、果たして次に表が出る確率も本当に1/2なのでしょうか？

回答No.8

angel_halo · ベストアンサー

＞例えば、連続して表が出ていても巨視的な視点に立てば変わらない。しかし、試行中に大数の法則を試算すると、極めて0％に近いと思える。
統計的確率を計算すると、1000回表が出た確率が1000/1000なので100%になってしまいます。表が出る確率50%の理想的なコインを前提としているので、nが十分大きくないと考えられます。

つまり、
・実際にコイン投げをn回行った場合、表が出るの確率がおおよそ1/2となる。(統計的確率)
・コイン投げを行うと、表が出る確率は1/2である。(数学的確率)
これが一致する事を表しているのが大数の法則です。つまり経験≒理論という法則です。

今回は、「理想的なコイン」「1000回表が出た後」という二つの前提があります。つまり1001回は、1000回の表と、不明な1回に分かれます。
「数学的確率50%のコインを一回投げるだけ」なので、1000回表が出ても、1001回目で表が出る確率は50%です。また、全体の確率は、1001/1001が50%、1000/1001が50%、という、確率を確率で表すという不思議な事が起きます。

質問者さんは「1001回を十分大きな数(n)として大数の法則に当てはめるなら統計的確率が50%に近くなるはずなので、1001回目が表になる確率がほぼ0%になる」と考えているようですが、1001回目が試行していないという事は確率変数(結果)ではありません。とちらかと言えば、1001回目を計算により求めるようとしているので、数学的確率になってしまいます。
1001回目を仮に未知の確率として無理に大数の法則として考えようとしても、
(数学的確率50%) ≒ (((1000回の表)+(数学的確率?%))/1001)　
となり、右辺の (((確率変数列)+(確率))/回数) という計算では確率にはなりません。
大数の法則は「数学的確率≒統計的確率」なので、この式はもはや大数の法則ではなくなります。

今回の矛盾の一番大の問題は、
数学的確率(理論的確率)と、統計的確率(経験的確率)を、
混同してしまった結果だと思います。

参考URL：

http://www7b.biglobe.ne.jp/~math-tota/suA/tokeiteki.htm

回答No.7

Tacosan

大数の法則を適用することを前提とするなら, 「試行回数を2の1000乗の1000乗の1000乗程度を軽く計算できるとすれば」という表現は変です. これは「当然できるもの」です (でないと極限の意味がない).
余談だけど, 「大数の法則で考えてみると、次に表がでる確率はほぼ0％（1/2の1001乗分の1）である」という文章に対しては「『次』 = 1001回目に表が出る確率は 1/2^1001 である」という解釈が最も自然だと思いますよ. 「1001回連続して表が出る確率」が 1/2^1001 であると読むのは (確率の値としてはその通りなんだけど), わざわざ「次」と書いてあることを考えると無理があるのではないでしょうか.

回答No.6

Mr_Holland

なるほど、質問者さんの言わんとされるところが何となく分かってきました。

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＜理想的なコインなら　1000回表が出ても1001回目に面が出る確率は　1/2 であることは十分に承知している。　しかし、大数の法則が正しいのであれば、1000回連続して表が出たなら　その分を今後の試行のどこかで取り戻さないと　十分な試行回数を経たとき　(表の出た回数)/(試行回数) が 1/2　に近づかなくなる。　だから1001回目からは表が出る確率は 1/2 より小さくなって　(表の出た回数)/(試行回数) を 1/2 に近づけなければ辻褄の合わないことになる。＞

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　質問者さんは、このような疑問・主張を投げかけられているのではないでしょうか。
　だとすれば、そもそも大数の法則がどこまで通用するものなのか（単なる仮説なのか）も含めて、独立事象と大数の法則との関係を考えなければならないように思われますが、いかがでしょうか。

お礼

回答いただきありがとうございます。
言わんとすることについてですが、まさにそういった感じです。
しかし、
例えば、試行回数を2の1000乗の1000乗の1000乗程度を軽く計算できるとすれば、その中には、表がたまたま1000回出てその後、裏が1000回出て辻褄の合う並びもどこかに含まれているかもしれません。
Wikipediaの大数の法則の説明によれば、巨視的な視点によれば、1/2に近づくというのは分かるのですが、それでも、やはりよく分からないのです。
例えば、連続して表が出ていても巨視的な視点に立てば変わらない。しかし、試行中に大数の法則を試算すると、極めて0％に近いと思える。
こういった意味になりそうなのですが、果たしてそうなのか、なんとも分からなくなっています。
うまくまとまっていなくて済みません。

ただ、alice_44さんの回答に、
＞＞ 大数の法則で考えてみると、次に表がでる確率はほぼ0％
＞この部分は、明らかに間違い。
とありますので、私の大数の法則の計算方法か理解が不足しているものと思うのですが、いまいちよく分かりません。

回答No.5

alice_44

＞ 1000回表が出た後、次も表の出る確率は1/2。

この部分は、常識的には、正解。厳密には、記述不足で正誤判定不能。
というのは、「理想的なコイン」といえば、そのような物を指すのが慣習だから。

何が「理想的」かは、十分明瞭とは言えないので、
数学として成立する記述にするためには、コインからの連想に頼らず、
「確率1/2の独立反復事象を考える」とでも言うべき。
その際、1001回目が表になる確率が1/2であることは、独立性の定義より自明。

＞ 大数の法則で考えてみると、次に表がでる確率はほぼ0％

この部分は、明らかに間違い。
「大数の法則」は、独立反復事象の平均生起率が、試行回数の増大に伴って
単回生起の確率に近づくことを言っている。
この場合、n 回コインを投げて k 回表が出ると置くと、k/n の期待値 Ex(k/n) は、
lim[n→∞] Ex(k/n) = 1/2 となる。それが、大数の法則から言えること。

n = 1001 が「十分大きい」か否かはさておくとしても、
「1000回表が出た後」の場合だけを考えたのでは、Ex(k/n) は計算できない。

お礼

回答いただきありがとうございます。

理想的なコインよりも良い語彙が思いつかずこのように記載してしていますが、
＞「確率1/2の独立反復事象を考える」とでも言うべき。
言いたいのは、まさにこういった意味です。
良い語彙を教えて頂きありがとうございます。

＞「1000回表が出た後」の場合だけを考えたのでは、Ex(k/n) は計算できない。
この行について理解できません。
大数の法則は、あくまで結果論であり、結果からしか導き出せないと言うことでしょうか？
それとも、何か他に条件があれば計算できると言うことでしょうか？
私の数学の知識はおそらく高校レベルですので、できればもう少し、わかりやすく説明して頂けると幸いです。

回答No.4

Tacosan

なにもないところから「1001回連続して表が出る」確率と, 「既に 1000回連続して表が出ているときに, その次にまた表が出る (結果として 1001回連続して表が出る)」確率とは違いますよ.
そもそも「果たして次に表が出る確率も本当に1/2なのでしょうか」という疑問を出しておきながら「しかし、大数の法則で考えてみると、次に表がでる確率はほぼ0％（1/2の1001乗分の1）である。」というのは (どこにも「大数の法則」は関係ないけど) おかしいと思いませんでしたか?

お礼

回答いただきありがとうございます。

私の読み方が間違いなのか、Tacosanの勘違いか分かりませんが、
＞なにもないところから「1001回連続して表が出る」確率と, 「既に 1000回連続して表が出ているときに, その次にまた表が出る (結果として 1001回連続して表が出る)」確率とは違いますよ.
こちらについて、独立試行ですので、前回の結果に関わらず、次に表の出る確率は50％です。
数学の教科書の見直しと、こちらの回答により確信しています。

私の理解が足りないところは、大数の法則だと思っています。
http://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%A4%A7%E6%95%B0%E3%81%AE%E6%B3%95%E5%89%87

例えば、宝くじのLOTで何度も出た数字に賭けるよりも、まだ1度も出ていない数字に賭ける方が当選確率が、上がる？下がる？変わらない？。しかし、実際には独立試行ですので当選確率は変わら無いはずですよね。こういった意味です。

回答No.3

eggmanpat

あなたは、数学と現実の世界を混同しているように思います。
数学的には他の方の言われた通りです。

>前提条件：理想的なコインを投げる物とします。

現実には、この前提が本当かどうかということが問題になります。

>1000回表が出た後、

あなたは、この（通常あり得ないとあなたが思う）結果により数学と現実の世界を混同してしまったのです。
現実の世界では、コインを投げて1000回続けて表が出たら、それはインチキコインです。

>次も表の出る確率は1/2。

のわけはありません。
数学の世界の話か、現実の世界の話かを意識して区別する習慣を身につけましょう。

お礼

回答いただきありがとうございます。
＞現実の世界では、コインを投げて1000回続けて表が出たら、それはインチキコインです
そうでしょうか？数学では2の1000乗分の1の確率では起こります。
天文学的な数字であり、日常的には滅多に起こらないのでインチキに極めて近いといえるでしょうが、100％の正解を求めている場合、インチキと決めるのは問題ではないでしょうか？
もちろん、実際の裁判でのえん罪発生確率よりも遙かに低いことは認めますが、100％の正しさで判断したい場合、インチキと言い切るには問題だと思います。
例えば、試行回数を2の1000乗の1000乗の1000乗程度を軽く計算できるとすれば、その中には、こういった事例も沢山含まれているように思います。
仮にこれをインチキとすれば確実に誤判定をしてしまいます。

回答No.2

BookerL

＞果たして次に表が出る確率も本当に1/2なのでしょうか？

　そのとおりです。

　１００１回表が続けて出る確率が実質的に０に近いのに、１０００回表が出たあと、１００１回目に表が出る確率が 1/2 になるのはおかしいと思われているようですが、そもそも １０００回続けて表が出る確率が ０ に近いので、それに １００１回目に表が出る確率 1/2 をかけてもやはり ０ に近い値に変わりはない、というだけのことです。

お礼

回答いただきありがとうございます。
何となく理解した気になっていたのですが、連続して出る確率を、確率を計算すると、
1/2
1/4
1/8
1/16
と倍々に減っていきますので現れる確率はどんどん少なくなると思うのですがいかがでしょうかね？

回答No.1

skydaddy

大数の法則とは、試行数が少ないと確率で期待されることがらからはずれることがよくありますが、試行数が十分に大きければ確率として計算される値に収束することです。
http://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%A4%A7%E6%95%B0%E3%81%AE%E6%B3%95%E5%89%87

0％の計算式として上げられているのは、連続して同じ面がでる確率です。

独立事象であるコインの表裏での、１面の出る確率は1/2です。

お礼

回答いただきありがとうございます。
質問を簡略化してしまっていますが、一応、それぞれの意味は理解しているつもりです。
理想的なコインと試行環境があれば、何億回表が出た後でも、次に表が出る確率は1/2であると。もっとも、独立試行ですので過去にそもそもコインが投げられたかどうかすら関係ありませんけどね。
また、連続することは、非常に珍しいケースであり、まずあり得ないケースだと示唆しているのが大数の法則であると。
ただ、この程度の理解ですと、連続して表が出れば、大数の法則は将来50％になると示唆しているわけですから、連続して表が出ていれば、裏が出やすくなるのではないかと思ってしまいます。
言いたいことが伝わっていればよいのですが・・・