大数の法則からの問題がどうしても

質問

確率の授業です(初学者です)。外人の先生なので英語が聞き取れず(しかも文字がとても汚い)よくわかりませんでした。

σ^2が分散, w_1,w_2,…,w_{n-1}がN(0,σ^2)の確率変数の時,
lim_{n→∞}P(max|Σ_[k=1..n-1]w_k|≦cσ√n)=1
となるそうなのですが(cは定数)これは大数の法則と呼ばれるものなのでしょうか?

ここでw_1,w_2,…,w_{n-1}は
w_1=1/(σ√(2π))exp(-x_1^2/(2σ^2)),
w_2=1/(σ√(2π))exp(-x_2^2/(2σ^2)),
:
w_{n-1}=1/(σ√(2π))exp(-x_{n-1}^2/(2σ^2)),
というx_1,x_2,…,x_{n-1}を独立変数とする関数という解釈で大丈夫でしょうか?
この時,w_1,w_2,…,w_{n-1}は正値ですよね?

そして, x=0の時が最大値(最頻値)を取るので
0<w_1≦1/(σ√(2π))
0<w_2≦1/(σ√(2π))
:
0<w_{n-1}≦1/(σ√(2π))
となり,
0<Σ_[k=1..n-1]w_k≦(n-1)/(σ√(2π))
よって
max|Σ_[k=1..n-1]w_k|=(n-1)/(σ√(2π)),
従って,
P(max|Σ_[k=1..n-1]w_k|≦cσ√n)は確率密度関数(釣鐘型曲線)の-∞からcσ√nまでの積分だから
n→∞の時,上端cσ√n→+∞なので
lim_{n→∞}P(max|Σ_[k=1..n-1]w_k|≦cσ√n)=1
と解釈しました。

それでもって

[問] P(max|Σ_[k=1..n-1]w_k|≦cσ√n)を式で表せ。
という問題なのですが,どのように解けばいいのでしょうか?

回答No.4

noname#227064 · ベストアンサー

回答No.3補足

> という具合にn→∞なら(1)式はtrueで
> |w_1|,|w_1+w_2|,…,|w_1+…+w_{n-1}|はDonskier's Invarian theorem(Donskier's Invariance Principle?)からWeiner Processに従うことが分かるそうです。
> そして,今回の問題は(nが有限値の時),つまりQ1とQ2です。

・この質問で画像添付する（サイズによっては文字がつぶれるかも）
・テキストで記載する（打ち込むのが面倒かも）

回答No.3

noname#227064

回答No.2補足
> lim_{n→∞}(1/√n)Σ[k=1..n]w_k
> からBrownian motion, Weiner mortionを使って証明.
> これは
> Donskier's Invariance Principleと言って中心極限定理を一般化した定理だそうです。

Donskier's Invariance Principleで検索すると参考URLが見つかり、その中の(2.2)がまさにご質問に合致すると思うのですが、これでも1にならないような……。

c = 3で0.9946になるようです。
https://www.wolframalpha.com/input/?i=4%2Fpi+sum_%28k%3D0%29%5Einfinity+%28-1%29%5Ek%2F%282+k%2B1%29+exp%28-1%2F8+%28%282+k%2B1%29%C3%97pi%2F3%29%5E2%29

参考URL：

http://www.math.utah.edu/~davar/ps-pdf-files/donsker.pdf

補足

ご回答誠に有難うございます。とても参考になっております。m(_ _)m

> Donskier's Invariance Principleで検索すると参考URLが見つかり、その中の(2.2)
> がまさにご質問に合致すると思うのですが、これでも1にならないような……。

ご紹介いただいた(2.2)をその外人の先生に見せましたら,
0.9946で特に問題ないそうです。

c=4,5,…,としていくと,任意の分散σに対して
∫[-cσ..cσ]1/(σ√(2π))exp(-x^2/(2σ^2))の面積は
1に近づくから
lim_{3<c,n→∞}P(max{|w_1|,|w_1+w_2|,…,|w_1+…+w_{n-1}|}≦cσ√n)≒1
でOKだそうです。

その後,今回の問題に関して確認しました。

w_1,w_2,…,w_{n-1}は同じ分散値σのi.i.dで
各w_1,w_1+w_2,…,w_1+…+w_{n-1}同じ分散値とは限らない(σ_1,σ_2,…,σ_{n-1})i.i.dだそうです。

という具合にn→∞なら(1)式はtrueで
|w_1|,|w_1+w_2|,…,|w_1+…+w_{n-1}|はDonskier's Invarian theorem(Donskier's Invariance Principle?)からWeiner Processに従うことが分かるそうです。
そして,今回の問題は(nが有限値の時),つまりQ1とQ2です。

nが有限値の時,
P(max{|w_1|,|w_1+w_2|,…,|w_1+…+w_{n-1}|}∈[-λ(σ),λ(σ)]なるσによって決まる関数λでできるだけ小さなもので評価せよ。
というのも同等の題意になるかと思います。

さらに参考資料として
http://projecteuclid.org/euclid.aos/996986501
のp21のTheorem4とP37の7.2Proof of Theorem4の箇所が参考になるとのことでした。

※ε°はεと記号を分けるためのものだそうです(εと分けるためにε'とダッシュを使うような)。

くじけそうですが是非ともお助けください。

回答No.2

noname#227064

回答No.1補足
> max|Σ_[k=1..n-1]w_k|
> は
> max{|w_1|,|w_1+w_2|,…,|w_1+w_2+…+w_{n-1}|}
> の意味でした。

ということなら、コルモゴロフの不等式を使うのかなと思ったのですが、

lim_{n→∞}P(max_{1≦j≦n-1}|Σ_[k=1..j]w_k|≦cσ√n)
= lim_{n→∞}{1-P(max_{1≦j≦n-1}|Σ_[k=1..j]w_k|≧cσ√n)}
≧ lim_{n→∞}{1-V(|Σ_[k=1..n-1]w_k|)/(cσ√n)^2}
= lim_{n→∞}{1-(n-1)σ^2/(cσ√n)^2}
= lim_{n→∞}{1-(n-1)/(nc^2)}
= 1-1/c^2

ダメでした……。
w_kが正規分布に従うということを利用するんでしょうか。

お礼

リンクをたくさん貼ったので再投稿記事は削除されてしまいました。
お手数おかけしまして誠に申し訳ございません。

補足

ご回答誠に有難うございます。参考にさせていただいてます。

あたらな情報を得ました。

k=1,2,…,n-1に関して
f(w_k)=1/(σ√(2π))exp(-w_k^2/(2σ^2))
で
P(f(w_k))=∫[-∞..+∞]f(w_k)dw_k
という関係でした。
fは確率密度関数。

そして,新たな情報です。
w_k∈[-3σ,3σ]でP(w_k<3σ)≒0.997だそうです。

また,
w_k～N(0,σ^2)の時,
w_1+…+w_{n-1}～N(0,(n-1)σ^2)
です(これは中心極限定理ですね)。

さらに
lim_{n→∞}P(max{|w_1|,|w_1+w_2|,…,|w_1+…+w_{n-1}|}≦cσ√n)=1
の証明に就いてですが

lim_{n→∞}(1/√n)Σ[k=1..n]w_k
からBrownian motion, Weiner mortionを使って証明.
これは
Donskier's Invariance Principleと言って中心極限定理を一般化した定理だそうです。

部分部分の情報で誠に申し訳ありません。

回答No.1

noname#227064

w_1,w_2,……,w_[n-1]が独立な確率変数で
w_1=1/(σ√(2π))exp(-x_1^2/(2σ^2)),
w_2=1/(σ√(2π))exp(-x_2^2/(2σ^2)),
:
w_{n-1}=1/(σ√(2π))exp(-x_{n-1}^2/(2σ^2)),
という確率密度関数を持つということで大丈夫だとは思います。
（独立かどうかは確実ではありませんが）

> この時,w_1,w_2,…,w_{n-1}は正値ですよね?

いえ、違います。
それらは、負の値になることもあります。

正規分布には再生性がありますので、Σ_[k=1..n-1]w_kの分布はN(0,(n-1)σ^2)になりますので、Σ_[k=1..n-1]w_k/(σ√(n-1))は標準正規分布に従います。
なんでnではなくn-1なのかという疑問もありますが、それよりもmaxは|Σ_[k=1..n-1]w_k|の中から最大のものを表しているのでしょうか？
そうすると、
P(max|Σ_[k=1..n-1]w_k|≦cσ√n) = P(|Σ_[k=1..n-1]w_k|≦cσ√n)
= P(|Σ_[k=1..n-1]w_k/(σ√(n-1))|≦c√(n/(n-1)))
= P(|Z|≦c√(n/(n-1)))
= 1-2P(Z≧c√(n/(n-1)))
となります。
ここで、Zは標準正規分布に従う確率変数です。
従って、
lim_{n→∞}P(max|Σ_[k=1..n-1]w_k|≦cσ√n)
= lim_{n→∞}{1-2P(Z≧c√(n/(n-1)))}
= 1-2P(Z≧c)
となり、1にはなりませんね。

> 確率の授業です(初学者です)。外人の先生なので英語が聞き取れず(しかも文字がとても汚い)よくわかりませんでした。

とのことですので、多分どこか写し間違えたのでしょう。

お礼

Weiner mortion
↓
Weiner distribution

でした。

追加情報です。

N(0,σ^2)～x_1,x_2,…がi.i.d(独立同時分布)の時,
lim_{n→∞}P(max{|x_i|}≦σ√(2nlog(n)))=1
は既知だそうです。

補足

とても参考になります。　

w:=
w_1
w_1+w_2
:
w_1+w_2+…+w_{n-1}
というn次ベクトル
と
S:=
0,0,…,0
1,0,…,0
1,1,0…,0
:
1,1,…,1,0
というn×n行列(これはintegral matrixと呼ばれる(?))
との積S^Twが
0
w_1
w_1+w_2
:
w_1+w_2+…+w_{n-1}
になっているからのようです。

> なんでnではなくn-1なのかという疑問もありますが

> maxは|Σ_[k=1..n-1]w_k|の中から最大のものを表しているのでしょうか？

max|Σ_[k=1..n-1]w_k|
は
max{|w_1|,|w_1+w_2|,…,|w_1+w_2+…+w_{n-1}|}
の意味でした。