この数学の問題が解けません。大学受験レベル

質問

19^n + (-1)^(n-1) * 2^(4n-3)
n=(1,2,3,…)
のすべてを割り切る素数を求めよ。

答え自体は簡単に７ということがわかりますが

すべての場合に成り立つという証明のために
「nの値が何であっても７で割り切ることが可能」

と言うことを示さなければなりません。

a^p - a は p で割り切れるという公式を使って証明をするのですが、
その方法がわかりません。

どなたか証明できる方はいますか？

回答No.3

R_Earl

> a^p - a は p で割り切れるという公式を使って証明をするのですが、

この公式を使わなくても数学的帰納法で示せそうです。

19^k + {(-1)^(k-1)}{2^(4k-3)}が7の倍数と仮定し、
19^(k+1) + {(-1)^k}{2^(4n+1)}が7の倍数である事を示してみます。

19^k + {(-1)^(k-1)}{2^(4k-3)} = 7mとおき、両辺を19倍すると

19^(k+1) + 19{(-1)^(k-1)}{2^(4k-3)} = 19・7m　… (1)

これで19^(k+1)が作れました。あとは{(-1)^k}{2^(4n+1)}を作るために、
19{(-1)^(k-1)}{2^(4k-3)}の項を次のように変形します。

19 = (-1)・2^4 + 35なので
19{(-1)^(k-1)}{2^(4k-3)}
= {(-1)・2^4 + 35}・{(-1)^(k-1)}{2^(4k-3)}
= {(-1)^k}{2^(4n+1)} + 35{(-1)^(k-1)}{2^(4k-3)}

これで無理矢理{(-1)^k}{2^(4n+1)}を作りだしました。
この結果を(1)に代入すると

19^(k+1) + 19{(-1)^(k-1)}{2^(4k-3)} = 19・7m
19^(k+1) + {(-1)^k}{2^(4n+1)} + 35{(-1)^(k-1)}{2^(4k-3)} = 19・7m

これで左辺に作りたかった19^(k+1) + {(-1)^k}{2^(4n+1)}が揃いました。
後は余分な項を右辺に移すと

19^(k+1) + {(-1)^k}{2^(4n+1)} = 19・7m - 35{(-1)^(k-1)}{2^(4k-3)}

ここで右辺は7で因数分解できるので、

19^(k+1) + {(-1)^k}{2^(4n+1)} = 7[19m - 5{(-1)^(k-1)}{2^(4k-3)}]

よって19^(k+1) + {(-1)^k}{2^(4n+1)} も7の倍数となりました。

お礼

丁寧に帰納法を教えていただきありがとうございます。
おかげで良く分かりました。