物理I 回折格子

質問

図のように、スリットから出た光の経路のうち短い方をk1,長い方をk2とすると、短い経路の光が出たスリットと、長い経路の光が出たスリットとスクリーンとの距離はそれぞれ、k1sinθ、k2sinθとあらわせますので、スリットの間隔dはd=sinθ(k2-k1)です。

明線ができるとき、k2-k1=mλですので、d=sinθmλとなりますが、これは、公式のsinθd=mλと異なったもになっています。

上の導き方はどこがおかしいのでしょうか？？よろしくお願いします。。

先ほども同じ質問をしましたが、図が添付できていないようでしたので再度質問しました。

回答No.2

yokkun831 · ベストアンサー

d =k2 sin(θ+Δθ) - k1 sinθ
= k2 (sinθcosΔθ+cosθsinΔθ) - k1 sinθ

cosΔθ≒1，sinΔθ≒Δθと近似して，

d≒(k2-k1)sinθ + k2 cosθΔθ

k2Δθ≒d cosθなので，

d ≒ (k2-k1)sinθ + d cos^2θ
∴k2-k1 ≒ d(1-cos^2θ)/sinθ = d sinθ

もちろん，２番目の近似ですでに経路差を含む小三角形まわりの計算をしていますから，この計算は遠回りの冗長なものとなっています。他にも指摘されているようにdをk1，k2で表そうとするときにΔθを無視することはできません。k1，k2に対するdの微小さ加減は，θに対するΔθと同レベルだからです。Δθを無視したことが矛盾の根源です。はじめから小三角形に注目して経路差≒d sinθに気づけば，k1，k2とdを比較する場面はありませんから，Δθの出番はないわけです。

お礼

なるほど！
小さいものを無視しているのに、その小さいものを求めようとしていたわけですね。

丁寧な解説ありがとうございました。

回答No.3

hitokotonusi

＞公式のsinθd=mλ

この公式を導くときにどういう図を使ったか覚えていますか？
回折格子から出る光はすべて平行という前提で求めているはずです。

たとえばここ
http://f57.aaa.livedoor.jp/~paintbox/cfv21/phys/difrgrating.htm

なぜかといえば、観測点が十分離れている場合を考えているからです。

各スリットからの角度差を考慮しなければならない近距離では

＞公式のsinθd=mλ

という公式は成り立ちませんが、この場合の計算は相当面倒になります。

さて、質問者さんが導いた

＞d=sinθmλ

が正しいかというと、この式は間違っています。なぜなら、質問者さんは距離kを異なると置き、θは共通としていますが、ANo1さんが指摘されているようにこれが片手落ちで、θも変わるからです。高校の範囲では無理かもしれませんが、まともにやって見ましょう。

観測点と回折格子の距離をLとします。また、スリットまでの高さをxとします。
スリットと観測点の距離は質問文と同じにkとします。

すると、

x = L tanθ、k = L/cosθ

が成り立ちます。

二つのスリットを下側を1、上側を2とすると、隣り合ったスリットなので

x2 = x1 + d

の関係があります。スリット1の角度をθ、スリット2の角度をθ+Δθとすると、一次までの近似で

x1 = L tanθ, x2 = L tan(θ+Δθ)～L tanθ+LΔθ/(cosθ)^2

となります。この変形は高校の範囲ではできないかもしれません。この関係から、

d = LΔθ/(cosθ)^2

が得られます。次に、距離を考えると、同様に一次までの近似で

k1 = L/cosθ, k2 = L/cos(θ+Δθ)～L/cosθ＋LΔθsinθ/(cosθ)^2～k1＋d sinθ

となり、したがって、

k2 - k1 = d sinθ

となります。この変形も無理かと思います。

強めあう条件ではk2 - k1 = mλなので、結局、

d sinθ＝mλ

を得ます。はじめから平行光線とおいた結果と同じです。

お礼

近似の条件が矛盾していたのですね。。
丁寧な解説ありがとうございました！
ベストアンサーをさしあげられず、申し訳ないです。

回答No.1

gohtraw

私の回答も含めて、二つのスリットを通った光線の角度をいずれもΘとする近似を用いているわけですが、波長やスリット間隔に比べて非常に大きなｋ１やｋ２にｓｉｎΘをかけてそこからスリット間隔を導くのは無理があるのではないでしょうか？

お礼

近似の方法に問題があるということですね。。
回答ありがとうございました！