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数学IIの指数関数の問題がわかりません。
Mr_Hollandの回答
- Mr_Holland
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>関数y=4^x+4^-x+2-10(2^x+2^-x+2)+30の最小値を求めよ。 この式は y=4^x + 4^(-x+2) -10{ 2^x + 2^(-x+2) } +30 のことですか? 以下、この式だと思って計算します。 2^(x-1)+2^{-(x-1)}=t とおいて、与えられた式の各部分を次のように変形します。 4^x+4^(-x+2) = 4[4^(x-1)+4^{-(x-1)}] = 4[2^{2(x-1)}+2^{-2(x-1)}] = 4( [2^(x-1)+2^{-(x-1)}]^2 -2 ) = 4(t^2-2) = 4t^2-8 2^x+2^(-x+2) =2[2^(x-1)+2^{-(x-1)}] =2t 従って、与えられた式は次のようにtの関数に置き換えられます。 y=4t^2-8-20t+30 =4t^2-20t+22 =4(t-5/2)^2 -3 このことから t=5/2 のときyは最小値 -3 をとることが分かります。 さて、t=5/2 となる x の値を求めますと次のようになります。 2^(x-1)+2^{-(x-1)}=5/2 ここで、s=2^(x-1) とおきますと、上の式はsの2次方程式になります。 s+1/s=5/2 ⇔2s^2-5s+2=0 かつ s≠0 ⇔(2s-1)(s-2)=0 かつ s≠0 ∴s=1/2, 2 s=1/2 のとき 1/2=2^(x-1) ∴x=0 s=2 のとき 2=2^(x-1) ∴x=2 以上のことから、 x=0,2 のとき 与えられた式は 最小値-3 をとります。
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お礼
すごくわかりやすい解説ありがとうございます。