数学IIの指数関数の問題がわかりません。

質問

数学IIの指数関数の問題がわかりません。

関数y=4^x+4^-x+2-10(2^x+2^-x+2)+30の最小値を求めよ。また、その時のｘの値を求めよ。

全く解法がわからないのでどなたか教えてください。　
お願いします。

回答No.3

Mr_Holland

＞関数y=4^x+4^-x+2-10(2^x+2^-x+2)+30の最小値を求めよ。

　この式は　y=4^x + 4^(-x+2) -10{ 2^x + 2^(-x+2) } +30 のことですか？
　以下、この式だと思って計算します。
　2^(x-1)+2^{-(x-1)}=t とおいて、与えられた式の各部分を次のように変形します。

　4^x+4^(-x+2)
= 4[4^(x-1)+4^{-(x-1)}]
= 4[2^{2(x-1)}+2^{-2(x-1)}]
= 4( [2^(x-1)+2^{-(x-1)}]^2 -2 )
= 4(t^2-2)
= 4t^2-8

　2^x+2^(-x+2)
=2[2^(x-1)+2^{-(x-1)}]
=2t

　従って、与えられた式は次のようにtの関数に置き換えられます。
　　y=4t^2-8-20t+30 =4t^2-20t+22 =4(t-5/2)^2 -3

　このことから　t=5/2　のときyは最小値 -3 をとることが分かります。

　さて、t=5/2 となる　x の値を求めますと次のようになります。

　　2^(x-1)+2^{-(x-1)}=5/2

　ここで、s=2^(x-1) とおきますと、上の式はsの2次方程式になります。
　　s+1/s=5/2
　⇔2s^2-5s+2=0 かつ s≠0
　⇔(2s-1)(s-2)=0 かつ s≠0
　∴s=1/2, 2

s=1/2 のとき　1/2=2^(x-1)　∴x=0
　s=2 のとき　　2=2^(x-1)　　∴x=2

　以上のことから、　x=0,2 のとき　与えられた式は　最小値-3 をとります。

お礼

すごくわかりやすい解説ありがとうございます。

回答No.2

naniwacchi

2^x＝ tとでもおくと、t＞ 0、1/t＞ 0となる。
「ともに正である 2つの数」について言える不等式って、数Iで。

#1さんの書かれていることと合わせれば、
問題は 2次関数の値域の問題に置き換わっていきます。

お礼

ありがとうございます。

回答No.1

Tacosan

4=2^2 と α^2 + β^2 = (α+β)^2 - 2αβ をうまく使う.

お礼

ありがとうございます。