複雑な積分の計算方法を教えてください。

質問

複雑な積分の計算方法を教えてください。

電磁気の参考書にある積分の計算方法が分からず困っています。
いろいろ考えたのですがどのように積分するといいのかが分かりません。

分子：aq
分母：4πε(a^2 + l^2)^(3/2)
-∞から∞までのlについての積分です。
a、qは定数です。
見づらくて申し訳ありません。

この積分結果が
aq/4πε[l/(a^2 (a^2 + l^2)^(1/2))]
([]内は-∞から∞までを取る)
となり、最終的な結果としては
q/(2πεa)
となるようです。

文字に置き換えたり三角関数を使ってみたり
様々な工夫をしてみたつもりなのですが
昔からこのような分数の積分が非常に苦手なため、
回答に辿り着けませんでした。

詳しい解説を教えていただきたいです。
あと、これはもしよければなのですが、
このような分数の積分や分母が累乗の場合には
どういうアプローチが有効なのかも教えていただけると
大変ありがたいです。
お願いします。

回答No.2

naniwacchi · ベストアンサー

おはようございます。

これは、無限直線を流れる電流による電場の計算＠ビオ・サバールですよね。

まず、「計算」だけを考えれるのであれば、定数は余計なので省いて考えましょう。
すると、lは見づらいので変数を rとして、計算のキモを書き下すと、
∫[-∞→ ∞] r/{ (a^2+ r^2)^(3/2) } dr

となります。
#1さんの書かれているように、r＝ a* tanθとおくのが定番です。
そして、このθはビオ・サバールの式にも現れているはずです。
単なる変数変換ではなく、物理的な意味もきちんともっている変換になります。

この手の計算は、ちょくちょく出てくると思うので、自分で計算してみてください。

お礼

ありがとうございます。
おっしゃるとおり、無限直線を流れる電流による電場の計算です。
l=a*tanθとすると解くことができました。

回答No.1

nag0720

こういう形は、
l=a*tanθと置くのが常道です。

お礼

ありがとうございます。
なんとか解くことができました。