なぜ１／２を７進法で表すと、０．３３３３３３３３３３３３・・・・・・・

質問

なぜ１／２を７進法で表すと、０．３３３３３３３３３３３３・・・・・・・・・・・になるのでしょうか？

回答No.12

banakona · ベストアンサー

十進法では　１＝０．９９９９９・・・

ここから類推すると７進法では　　１＝０．６６６６６・・・

両辺を２で割って　　１／２＝０．３３３３３・・・

回答No.11

ken-nosuke

ＡＮｏ．１０の別回答です。

７進法の再確認
６＋１＝１０　　１０－１＝６　　もう一つ　　１０－６＝１

上記を踏まえて、１÷２を７進法で割り算をしてみる

　　 ０．３３３・・　
　　－－－－－－－－－
　２）１．０　　　　
　　　　 ６
　　　－－－－－－－－
　　　　 １０
　　　　 　６
　　　　－－－－－－－－
　　　 　　１０
　　　　 　　６
　　　　－－－－－－
　　　　 　　１０

回答No.10

ken-nosuke

他の人と逆の計算例はいかが？

７進法で０．３は、３／７のことですから７倍すると３になります。
つまり、ｎ進法では、ｎ倍すると、１桁、上がるわけです。
同じように、７進法で０．３３・・・は、７倍すると３．３３・・・になります。
これが理解できれば、

７ｘ（０．３３・・）－１ｘ（０．３３・・）＝３．３３・・－０．３３・・

両辺を計算すると

（７－１）（０．３３・・・）＝３

両辺を（７－１）で割ると
０．３３・・＝３／（７－１）
　　　　　 ＝３／６
　　　　 ＝１／２

蛇足
７進法では、７という文字はありません。ＡＮｏ．２の説明の通り、６の次は１０です。
つまり、１０進法での７は、７進法では、１０と書きます。

くどいですが、７進法では
６＋１＝１０　　１０－１＝６

前述の式も、７を１０と書き換えれば、あらま、１０進法と同じになっちゃいます。

回答No.9

nattocurry

ためしに、
０．３３３３＋０．３３３４
を計算してみると、解るんじゃないですかねぇ？

回答No.8

naniwacchi

#6です。

最後のところの表現で少し補足を。

＞すると、「商は 3、余りは 1」の繰り返しとなります。
余りは 1というのは、「1/(なんとか)の形」ということです。

で、またこの「1/(なんとか)」を割ると
「商は 3、余りは 1/(なんとか その2)」の形で繰り返されます。

という意味です。
実際に計算してみるのが一番なんですが。＾＾；

回答No.7

alice_44

有理数が循環小数になる理由を書き洩らしましたが、
No.6 の方が書いて下さったようです。
有理数とは、整数の比(分数)で表される数のこと
ですが、p/q を n 進法で筆算すると、
p を q で割った余りを n 倍して、
それを q で割った余りを n 倍して、
またそれを q で割った余りを n 倍して…
と繰り返すことになります。
q で割った余りは、0 ～ q-1 の q 通り
しかありませんから、何処かで同じ余りが
登場します。すなわち、小数は循環します。
有限小数だって、末尾に 0 が循環しているんですから。

回答No.6

naniwacchi

こんにちわ。

少し計算じみた内容になりますが。＾＾；
先の方の指摘どおり、7進法で分数を表記するには 1/7、1/49、1/243・・・につく係数を書き下すことになります。
たとえば、18/49であれば 15/49＝ 2/7+ 3/49より 7進法では 0.23(7)と表されることになります。
（後ろの(7)は 7進法表記であるという意味です）

この 0.23(7)ですが、実際の計算としては以下のような手順を踏んでいきます。
１．15/49を 1/7で割り、その商と余りを求める。すると、商は 2、余りは 3/49となる。
２．次に余りとなった 3/49を 1/49で割る。すると、商は 3で割りきれる。

このように順次割っていった商が表記となり、余りはどんどん先送りされていきます。

1/2についても同じように計算を進めていきます。
すると、「商は 3、余りは 1」の繰り返しとなります。
結果、0.333333・・・(7)と表されることになります。

回答No.5

alice_44

7 進法に限らず、n 進法の有限小数は、
n を何回か掛けると、整数になります。
1/2 に 7 を何回掛けても、整数にはならないので、
1/2 を 7 進法で書けば、無限小数になります。
有理数だから、もちろん循環小数です。
具体的に 3 が循環することは、
筆算を実行すれば判るでしょう。

回答No.4

info22_

1より小さいので7倍して
0.5X7=3.5(小数部0.5、整数部3は7進法の小数第1桁目）
小数部を7倍
0.5X7=3.5(小数部0.5、整数部3は7進法の小数第2桁目）
小数部を7倍
0.5X7=3.5(小数部0.5、整数部3は7進法の小数第3桁目）
小数部を7倍
　…　同じ操作が繰り返されるから

小数部を7倍して出てくる整数部を並べれば7進法の
数が得られるわけです。

0.5=(0.5*7)*7^(-1)=(3+0.5)*7^(-1)=3*7^(-1)+0.5*7^(-1)
=3*7^(-1)+(0.5*7)*7^(-2)=3*7^(-1)+(3+0.5)*7^(-2)
=3*7^(-1)+3*7^(-2)+0.5*7^(-2)
=3*7^(-1)+3*7^(-2)+3*7^(-3)+0.5*7^(-3)
=3*7^(-1)+3*7^(-2)+3*7^(-3)+3*7^(-4)+0.5*7^(-4)
=3*7^(-1)+3*7^(-2)+3*7^(-3)+3*7^(-4)+ … +0.5*7^(-n)
=3*7^(-1)+3*7^(-2)+3*7^(-3)+3*7^(-4)+ …
=0.3333 …(7進法)

回答No.3

NMZ1985

７進法において小数が1/7、1/49、となるように7^-n（７の-n乗）されます。

1/7＝0.142857・・・
1/49=0.0204008163・・・

よって1/2＝0.5なので小数第一位では
3/7=0.42857・・・が0.5に一番近いため3となり残りは
0.5－0.42857・・・＝0.07142857・・・となります。

小数第二位では
3/49=0.061224489・・・・が0.07142857・・・に一番近いため3になります。

あとは全部繰り返しになるため、答えが0.33333・・・となります。

回答No.2

FEX2053

７進法というのは

０、１、２、３、４、５、６、１０、１１、１２、１３、１４、１５、１６、２０・・・

と数えて行く方法です。

ここで１／２ってことは、０と１の真ん中＝０と１０の真ん中の１／１０ですよね。
７進法で純に数字を見れば、０と１０の真ん中は３と４の真ん中です。

３と４の真ん中ってことは「３」に「３と４の真ん中の数字」、すなわち言いかえれば「０と１の真ん中の数字」を足したものになり、もう一度「０と１の真ん中＝０と１０の真ん中の１／１０」が続きます。

結果として、７進法の１／２は０．３３３３・・・と続いちゃうことになります。

これは「奇数」進法の数列ならどれでも同じような結果になりますよ。