五進法、八進法について

質問

五進法と八進法の講義を受け、問題を出されたのですがよく理解できず問題を解くことができませんでした。

10730398を五進法と八進法で表せといった問題なのですが、解き方をご教授願えないでしょうか？

回答No.5

info22

5進法なら、5で割って余りを下位桁から上位桁の方に並べていくだけです。
最初は10730398を5で割る。商と余りを求める。余りを5進法の1桁目にする。

2回目以降は直前の割り算の商を5で割る。商と余りを求める。余りを5進法の2桁目にする。

3回目は2回目の割り算の商を5で割る。商と余りを求める。余りを5進法の3桁目にする。

この操作を割り算の商がゼロになるまで繰り返せば、5進法であらわしたデータが得られます。

8進法の場合は、5進法の場合の割る数を8に置き換えるだけで、他は同じ操作をするだけで8進数に変換したデータが得られます。

計算は#1さんの計算にあるような積み算で行うのが普通です。
式で書けば
10730398=(2146079*5+3)
=((429215*5+4)*5+3)
=(((85843*5+0)*5+4)*5+3)
=((((17168*5+3)*5+0)*5+4)*5+3)
=(((((3433*5+3)*5+3)*5+0)*5+4)*5+3)
=((((((686*5+3)*5+3)*5+3)*5+0)*5+4)*5+3)
=(((((((137*5+1)*5+3)*5+3)*5+3)*5+0)*5+4)*5+3)
=((((((((27*5+2)*5+1)*5+3)*5+3)*5+3)*5+0)*5+4)*5+3)
=(((((((((5*5+2)*5+2)*5+1)*5+3)*5+3)*5+3)*5+0)*5+4)*5+3)
=((((((((((1*5+0)*5+2)*5+2)*5+1)*5+3)*5+3)*5+3)*5+0)*5+4)*5+3)
=((((((((((0*5+1)*5+0)*5+2)*5+2)*5+1)*5+3)*5+3)*5+3)*5+0)*5+4)*5+3)
=(10221333043)[5進]

10730398=1341299*8+6
=(1676412*8+3)*8+6
=((209551*8+4)*8+3)*8+6
=(((26193*8+7)*8+4)*8+3)*8+6
=((((3274*8+1)*8+7)*8+4)*8+3)*8+6
=(((((409*8+2)*8+1)*8+7)*8+4)*8+3)*8+6
=((((((51*8+1)*8+2)*8+1)*8+7)*8+4)*8+3)*8+6
=(((((((6*8+3)*8+1)*8+2)*8+1)*8+7)*8+4)*8+3)*8+6
=((((((((0*8+6)*8+3)*8+1)*8+2)*8+1)*8+7)*8+4)*8+3)*8+6
=(631217436)[8進]

質問がある場合は、積み算の解答を補足に書いて質問ください。

お礼

ありがとうございます！計算してみます！

回答No.4

sanori

こんにちは。

５でどんどん割っていって、途中の余りを見ていく方法が正道ですが、
そうではなく、たぶん、今後、二度と忘れなくなる考え方を伝授いたします。

十進法とは、いわば、
１円玉、１０円玉、１００円玉、１０００円札、１００００円札、１０万円札、・・・
の世界です。
１円玉が１枚、１０円玉が２枚、１０００円札が３枚、１０万円札が４枚のとき、
４０３０２１円
です。

１円玉、１０円玉、１００円玉、１０００円札、１００００円札、１０万円札、・・・
を言い換えると、
１０^0円札、１０^1円札、１０^2円札、１０^3円札、１０^4円札、１０^5円札、・・・
です。

では、五進法の話に移ります。

五進法の世界は（十進法に翻訳すれば）こういう世界です。
５^0円札　＝　１円札
５^1円札　＝　５円札
５^2円札　＝　２５円札
５^3円札　＝　１２５円札
５^4円札　＝　６２５円札
５^5円札　＝　３１２５円札
５^6円札　＝　１万５６２５円札
５^7円札　＝　７万８１２５円札
５^8円札　＝　３９万０６２５円札
５^9円札　＝　１９５万３１２５円札
５^10円札　＝　９７６万５６２５円札
５^11円札　＝　４８８２万８１２５円札
・・・・・

問題の数は、１０７３万０３９８円　です。

４８８２万８１２５円札は、いりません。

９７６万５６２５円札は、１枚使います。
残りは、
１０７３万０３９８円　－　９７６万５６２５円　＝　９６万４７７３円

１９５万３１２５円札は、いりません。

３９万０６２５円札は、２枚使います。
残りは、
９６万４７７３円　－　２×３９万０６２５円　＝　１８万３５２３円

７万８１２５円札は、２枚使います。
残りは、
１８万３５２３円　－　２×７万８１２５円　＝　２万７２７３円

１万５６２５円札は１枚使います。
残りは、
２万７２７３円　－　１万５６２５円　＝　１万１６４８円

３１２５円札は、３枚使います。
残りは、
１万１６４８円　－　３×３１２５円　＝　２２７３円

６２５円札は、３枚使います。
残りは、
２２７３円　－　３×６２５円　＝　３９８円

１２５円札は、３枚使います。
３９８円　－　３×１２５円　＝　２３円

２５円札は、いりません。

５円札は、４枚使います。
２３円　－　４×５円　＝　３円

１円札は３枚使います。

というわけで、使用枚数を上から順番に見れば、

４８８２万８１２５円札以上は、０枚
９７６万５６２５円札は、１枚
１９５万３１２５円札は、０枚
３９万０６２５円札は、２枚
７万８１２５円札は、２枚
１万５６２５円札は１枚
３１２５円札は、３枚
６２５円札は、３枚
１２５円札は、３枚
２５円札は、０枚
５円札は、４枚
１円札は、３枚

よって、五進法での表示は
１０２２１３３３０４３
です。

八進法のほうも、８^0円札、８^1円札、８^2円札、・・・・の使用枚数で考えてみてください。

以上、ご参考になりましたら。

お礼

ありがとうございます！大変参考になりました！

回答No.3

d_m_love

普通自分たちが使っているのが１０進法です。
考え方は１０７３０３９８を例にすると
１の位は１０の０乗(=１)×８
　　　　１０の１乗(=10)×９
　　　　１０の２乗(=100）×３
　　　　　　　　・
　　　　　　　　・
となります。
５進法は５の０乗＝・・・
　　　　５の１乗＝・・・という考え方に変わります。
つまり、５～９の概念がなくなり、４の次は桁が上がって１０と表記されます。
コンピュータは２進法なので『０』と『１』しかありません。

１０進法を５進法で表すためには値を５で割ってみましょう。
5｜10730398
　￣￣￣￣￣￣
5｜ 2146079―――余3
　￣￣￣￣￣￣
5｜　429215―――余4
　￣￣￣￣￣￣
5｜　 85843―――余0
　￣￣￣￣￣￣
5｜　 17168―――余3
　￣￣￣￣￣￣
5｜　 3433―――余3
　￣￣￣￣￣￣
5｜　　 686―――余3
　￣￣￣￣￣￣
5｜　　 137―――余1
　￣￣￣￣￣￣
5｜　　　27―――余2
　￣￣￣￣￣￣
5｜ 　　　5―――余2
　￣￣￣￣￣￣
　　　　　1―――余0

下から順番に値と余りを見ていくと
１０２２１３３３０４３となります。
これが５進法で表記した答えです。
８進法も同様に計算すれば答えはでます。

逆に５進法を１０進法で表すための例も書いておきます。
上で出た回答（１０２２１３３３０４３）を例にすると
５の０乗×３＝３
５の１乗×４＝２０
５の２乗×０＝０
５の３乗×３＝３７５
５の４乗×３＝１８７５
５の５乗×３＝９３７５
５の６乗×１＝１５６２５
５の７乗×２＝１５６２５０
５の８乗×２＝７８１２５０
５の９乗×０＝０
５の１０乗×１＝９７６５６２５
この値をすべてたすと、もとの１０７３０３９８となります。

説明がわかりづらくてごめんなさい。

お礼

すごいわかりやすいです！ありがとうございます！

回答No.2

Lokapala

五進法の場合、まず５で割ります。その時の余りの値が一番右のけたの数字です。つぎに、商をまた5で割ります。このときの余りが右から二つ目のけたの数字です。これを続けていき５で割って商が０になったとき、終わりです。これで答えが出ます。

八進法は８で割るだけです。

考え方。10進法で、千の位より下の数字が何を意味するのでしょう。例えば、12345の345です。答えは、千で割った時の余りです。この千とは何でしょう。10＾3です。つまり、Ｘ進法において、右から数えてｎ＋１桁目よりも下のけたにある数字は元の数字をＸ＾ｎで割った時の余りとなるのです。これをひと桁ずつ行っていくのが上で説明した方法です。

※これから先はこんがらがるかもしれないので無視してもいいです。
つまり、5進法の場合25で割っていっても問題ありません。25で割ってその余りを5進法の2桁で表わし、2桁ずつ埋めていけばいいのです。ただ、そっちの方がややこしいし、面倒です。

お礼

ありがとうございます！参考にさせていただきます！

回答No.1

tonsaku

【その１】
たとえば38を5進数でやってみましょう。

　　5 )　38
　　　--------
　　5 ) 　7　 +　"3"
　　　--------
　　　　 "1"　+　"2"

　　　38[10]＝123[5]

これくらいなら検算できますね。
それでも不思議なら、123をabcと置いて文字計算すればわかるはずです。

【その２】
これも38でやってみます。

　5^0 = 1
　5^1 = 5
　5^2 = 25 < 38
　5^3 = 125 > 38

　よって、38は5進数で3桁であることが分かるので、
　　5^2の位： 38 / 5^2 = "1" … 13
　　5^1の位： 13 / 5^1 = "2" … 3
　　5^0の位： 3 / 5^0 = "3"
　より、38[10]＝123[5]

これもすぐわかりますね。ただ、数字が大きいとこれは大変だと思います。

お礼

ありがとうございます！参考にさせていただきます！