極限

質問

u(C)=C^(1-θ)/(1-θ)，θ＞0
とする。
このとき、θ→1とすると、u(C)→logC
になるそうです。
ロピタルなどを使えばいいようなのですが、よく分かりません(私としては0に収束しそうな気がしています)。
教えてください。

回答No.2

siegmund · ベストアンサー

kony0 さんの言われるように，このままでは＋∞に発散しちゃいまね．

察するに
(1)　　u(C)={C^(1-θ)-1}/(1-θ)，　　θ→1
なのでしょう(C>0)．
見やすくするために，
(2)　　1-θ = x
とおいて
(3)　　u(C) = (C^x - 1)/x，　　x→0
とします．
これで分母も分子もゼロに近づく不定形になります．
ロピタルの定理を使えば，
(4)　　u(C) → log(C)
はすぐにわかります．

同じことですが，分子を x でマクローリン展開して
(5)　　C^x - 1 = 1 + x log(C) + (x^2 以上の項) - 1
　　　　　　　 = x log(C) + (x^2 以上の項)
とすれば
(6)　　u(C) = log(C) + (x^1 以上の項)
ですから，これでも(4)がわかります．

お礼

u(C)={C^(1-θ)-1}/(1-θ)，です。
というか、もともとはu(C)={C^(1-θ)}/(1-θ)
だったのですが、問題の設定によりu(C)={C^(1-θ)-1}/(1-θ)として、極限をとっても良い状況で、教科書にもそのようにしてロピタルを使えと書いてありました。
ありがとうございました。

回答No.3

waseda2003

ロピタルの定理を使うのは大袈裟です。高校数学の公式で間に合います。問題を

u(C)={C^(1-θ)-1}/(1-θ)

と訂正すると， lim_(x→0) (C^x-1)/x を求めればよいことになります。自然対数の底をeとして

(C^x-1)/x = {e^(x*log C)-1}/x
= (log C)*{e^(x*log C)-1}/(x*log C)
= (log C)*(e^h-1)/h　　（h=x*log C）

x→0のときh→0となりますから，高校で習った公式

lim_(h→0) (e^h-1)/h = 1

を用いれば結果が得られます。早い話が，公式

(d/dx)(C^x) = (C^x)*(log C)

を導く過程を言っているわけです。
この機会に，高校数学の復習をしてみてはいかがでしょうか。

お礼

確かに、おっしゃるとおりです。
高校範囲の復習をすべきなようです。
高校のときは文系だったから、大学に入ってからこの辺のことはやったのですが、ちゃんとマスターされていないことが、もろに出てしまったようです。
回答ありがとうございました。

回答No.1

kony0

C>0が前提と思いますが、これって＋∞に発散しませんか？（1/0型ではない？！）