この積分について教えてください。

質問

この積分について教えてください。
このaxとlogXの交点がわからないんですけど、どうすればいいんですか？
どうやって最小値を求めるんですか？

回答No.3

muturajcp · ベストアンサー

at=logt
a=logt/t
1<t<e
0<a<1/e
at<1
da/dt=(1-logt)/t^2=(1-at)/t^2>0
dt/da=t^2/(1-at)>0
J=∫_{1～e}|ax-logx|dx
=∫_{1～t}(ax-logx)dx+∫_{t～e}(logx-ax)dx
=2t-at^2-a(1+e^2)/2-1
dJ/da=2(dt/da)-t^2-2at(dt/da)-(1+e^2)/2=t^2-(1+e^2)/2
dJ/dt=(dJ/da)(da/dt)
1<t<√{(1+e^2)/2}のときdJ/dt<0だからJは減少
√{(1+e^2)/2}<t<eのときdJ/dt>0だからJは増加
だから
t=√{(1+e^2)/2}のときJは最小になる
a=logt/t
a=(log[√{(1+e^2)/2}])/√{(1+e^2)/2}

回答No.2

toraneko75

f(x)≧0とf(x)≦0でわけて計算しましょう。
1≦x≦eにf(x)=0は一個だけ解を持ちますので、それをtとおいて、
絶対値記号をはずして計算するとaの関数になると思います。
それをaで微分して0<a<1/eで最小値をもとめることになります。

最初の出だしはこんな感じです。
f(x)=ax-logxとおくとf'(x)=a-1/X
0<a<1/eかつ1<x<eで考えると、f'(x)<0なのでf(x)は1≦x≦eで単調減少。
ここでf(1)=a>0、f(e)=ae-1<0なので、中間値の定理により
f(x)=0は1<t<eである解x=tを持つから1≦x≦tでf(x)≧0,t≦x≦eでf(x)≦0
またat=logtである。
したがって、与式は・・

（この先は正負に分けて絶対値記号をはずして積分計算です）

回答No.1

t-saizou

y=axとy=logxの交点のx座標をt(0<t<e)とおいて考えればいいです。
そうすると
at=logtが成立するので、あとは場合分けを用いて絶対値をはずして、通常通り計算すればよいです。
※計算の過程でat=logtを使用することになります。

補足

交点のｘ座標をｔとした後の計算を教えてください。