どうしてゼロで割ってはいけないのか？

質問

どうしてゼロで割ってはいけないのか？

中学のとき、「ゼロで割ってはいけない」といわれました。
あれだけ数学が論理至上で成り立っているのに、これだけは暗黙の了解で「空気読んでね」みたいな感じでごまかされているようでなりません。

ゼロで割っては「いけない」理由に対してのわかりやすくかつ論理的な説明はどういったものなのでしょうか？

回答No.18

copell

小学生向けの説明は妙に納得いきます。

４個のあめちゃんを２人で分けるとひとり分は？　４÷２＝２　こたえ２個
３００円を５人で分けるとひとり分は？　３００÷５＝６０　こたえ６０円
３個のケーキを９人で分けるとひとり分は？　３÷９＝１/３　こたえ　３分の１個
０個のリンゴを６人で分けるとひとり分は？　ないものを分けて一人分が出てきたら逆にびっくりするだろう。だから０個。
８冊の雑誌を０人で分けるとひとり分は？　もともと分けたものを取る人がいないんだから一人分も何もない。
よって０では割れない。

というのがうちの塾の先生の説明です。（受け売りかよｗ）

回答No.17

do_ra_ne_ko

＜お礼
　ご回答ありがとうございます。
　ゼロで割ることがある数学について書かれている文献やHPなどありましたら教えて頂けませんか？
　投稿日時 - 2010-10-11 00:35:22＞

＜回答＞

高校生ならよくゼロで割ります。勿論中学生の割り算の定義を拡張しております。

例えば、関数　f(x)＝３/x において、ｘ→ ０　とすると、
　　　　　　　f(x)→ ±∞　

この場合、割り算の定義を拡張して、3/0＝±∞　としてゼロで割ることを許容します。

ご注意願いたいのは、これは中学生の割算の定義範囲内に限定すれば間違いとなりましょう。

回答No.16

gff79866

そうそう、私の学校の先生も「それ、高校で理系に入った人は教えてもらえる。」ってなこを言って・・・。ちゃんと教えてくれなかったんです。

でもANO.9の方がおっしゃるとおりのことは言っていました。

1÷１＝１。
１÷０．１＝１０。
1÷０．０１＝１０００。
1÷０．００１＝１００００。
と言う風に割る数をどんどん０へ近くしていき、ついに０になったとき・・・。

ドカーン！！って感じに爆発する！！って聞きました。
でもその「ドカーン」がどうして「ドカーン」なのかは教えてもらえませんでした。

それから先生を頼りにせず勉強した揚句、＞http://imakarasuugaku.blog119.fc2.com/blog-entry-27.html

このURLのブログには感心しましたが。。。

でも待ってくださいよ、

１÷０．００１が１００００ですから、対照的な１÷（－０．０００１）＝については・・・
－１００００。と言うことは・・・。

そのマイナスの数も０に近づけていくと最後はとってもちいさいかずになる。
そして正の割る数（１番最初に言った）を０に近づけると商はとっても大きい数。
と言うことはその境地が０、と言うことになるのか・・・。

だったら例えば１０００００００００００と－１０００００００００００の境は０ですよねぇ・・・。

だったら・・・・・・・・・・・。
ｘ÷０は０になるんじゃ・・・・。

でも０×０はｘになりませんよねえ・・・。

ううううううん・・・。

未知数。
と言うことですね。

そう、ありえないんですよ。
こんなことやってたら人間は壊れるって意味だと思います。

０はただ、プラスの数、マイナスの数を結んでいるだけのものです。

昔は０なんてなかったそうです。
でもないとおかしいから誰かが「丸＜○＞」を書いたのが始まりだそうです。

だからただの飾りで割っても数字は出てこないってことですよ。
人間、普段使っているいろんなものや道具、飾りを壊したって命があれば関係ないじゃないですか。

今まで人間が造って、考えてきて出来たのがいわゆる「飾り、道具」などというものです。
そして数学を考えたり、０を考えたのも人間。
だから数学ですべて分かるものではないものが存在したっておかしくないんですよ。
幽霊だって、見間違いじゃないですから。
不思議はたくさんあります。
この宇宙には。

それから比べて人間はよく理解はしているがその理解はまだ大きい宇宙に対し、何千、何万、何億、・・・無限分の１しか理解出来ていないのだと思います。

だからその理解できていないひとつが、「０で割ってはいけないこと」なのです。
どうしても人間には手出しが出来ないのですよ。

変な事言う人ですいません・・・。

お礼

ご回答ありがとうございます。

>>人間、普段使っているいろんなものや道具、飾りを壊したって命があれば関係ないじゃないですか。
私もまさしくその通りだと思います。

>>そう、ありえないんですよ。
ありえない事態が起きるとしたら、「ゼロに何をかけてもゼロ」という前提自体が間違っているとどうしてならないのかがまだいまいちわかりません。。

回答No.15

do_ra_ne_ko

定義の問題です。

例えば　a/b = x とするとき、
　a/b の意味、つまり x の意味を
　a = b × x
を満足する x だと定義するのが通常です。

a/b において b = 0 つまり、０で割るということは、a ≠　0 のときには
　a = 0 × x
となるような　x (つまり a/b ) を意味しますが、当然このような数は存在しません。　
つまりゼロで割った商は存在しないと考えるので、存在しない数を作らないためです。

中学生にこのような回りくどいことを教えると頭が混乱するのでゼロで割るなというのでしょう。
勿論、もう少し進んだ数学では定義を変更してゼロで割ることもあります。

お礼

ご回答ありがとうございます。

ゼロで割ることがある数学について書かれている文献やHPなどありましたら教えて頂けませんか？

回答No.14

Knotopolog

♯８です．　　「お礼」のコメントに対する回答です．

＞ただ「矛盾が生じるからやっちゃいけない」というところがやはりまだ納得できてません。

「納得できない」と言うことは「矛盾が生じてもいいではないか」とも受け取れますが，「矛盾を生じる数学」は，それを使って計算された内容が信用できないから存在する意味がありません．

「矛盾が生じてもいい」のであれば，例えば，Ａ，Ｂ，Ｃ　を正の整数として，Ａ＝Ｂ＋Ｃ　と　Ａ＝２Ｂ＋３Ｃ　は矛盾します．なぜならば，
Ａ＝Ｂ＋Ｃ　と　Ａ＝２Ｂ＋３Ｃ　から　

Ｂ＋Ｃ＝２Ｂ＋３Ｃ

となり，

Ｂ＋２Ｃ＝0

となります．Ｂ＋２Ｃ　はゼロではないので，Ｂ＋２Ｃ＝0　の式は矛盾です．
この矛盾を許すと，Ａ＝Ｂ＋Ｃ　と　Ａ＝２Ｂ＋３Ｃ　から，例えば，
Ｂ＝３，Ｃ＝５　とすると，

Ａ＝Ｂ＋Ｃ＝３＋５＝８

一方，

Ａ＝２Ｂ＋３Ｃ＝(２・３)＋(３・５)＝６＋１５＝２１

となります．Ａ＝８，かつ，Ａ＝２１ ですから，どちらの Ａ が正しいのかが判断できません．これでは，これ以上，この先に進めません．進めない，ということは，これ以上の数学の発展は無いという事です．

「ゼロで割ってはいけない」という意味は，この矛盾を許さない，という意味なのです．

回答No.13

windwald

>「面倒が生じるので敢えて放置」というのはまさにごまかしてるということだと思ってしまいます。
むしろ逆ではないですか？
矛盾を生じまくる定義をしてしまうのは無責任きわまりないと思いますが。

お礼

ご回答ありがとうございます。
何に対しての責任なのかがよくわかりません。

回答No.12

Knotopolog

♯８です．　　「お礼」のコメントに対する回答です．

＞＞その説明から「文字式で割ってはいけない」とならずに
＞＞「ゼロで割ってはいけない」となるのはどうしてかわかりません。

「ゼロで割ってはいけない」という意味は，
「文字式がゼロならば，その文字式で割ってはいけない」ということです．

言い換えれば，文字式で割る時は，その文字式がどの様な場合でも
ゼロにはならないという「保証」が必要なのです．

世界中で取り扱われている数学は，すべて，この「保証」の上に成り立っています．

お礼

ご回答ありがとうございます。

>「ゼロで割ってはいけない」という意味は，
>「文字式がゼロならば，その文字式で割ってはいけない」ということです．

この部分はわかりました。ありがとうございます。

ただ「矛盾が生じるからやっちゃいけない」というところがやはりまだ納得できてません。

回答No.11

sak_sak

ごまかしている、というより
おそらく小学校時代に習った際に教わっている筈のことだから
改めて時間を割くようなことをしなかったのではないですか?
論理的な説明は他の方がされている通りです。

お礼

ご回答ありがとうございます。
小学校時代は「算数」だったから矛盾が生じるからどうのこうのというのは習っていなかったと思います。

回答No.10

windwald

ええと、０でない数を０では「割れません」。
#9さんの主張する「０以外の数を０で割ったら無限に大きな数である」はまちがいです。
０に近い数で割っていくと、どんどん大きな数になるというのは間違いありませんが、
それは０以外の数で割る限りにおいてです。
また、０以外の数を０で割るのは「不能」であって「不定」ではありません。

０÷０が「不定」です

いずれにしても０除算をすることにそれ以上の発展性がなく、
０除算が禁則となる理由です。
より正確に言うならば、０で割ることを「定義していない」といいましょうか。
定義付けをするといろいろと面倒が生じるので敢えて未定義のまま放置。
定義されていない計算だから計算をしようにも方法がない、というところです。

お礼

ご回答ありがとうございます。
「面倒が生じるので敢えて放置」というのはまさにごまかしてるということだと思ってしまいます。

回答No.9

noname#120160

１÷0.1＝10
１÷0.01＝100
１÷0.001＝1000
１÷0.0001＝10000
・・・
となります。すると
1÷0は無限に大きい数ということになります。よって定まらないので，割ってはいけないということになります。

蛇足ですが。。<(_ _)>

お礼

ご回答ありがとうございます。
「無限に大きい数」として定まってるのではないかと思ってしまいます。