計測工学です。

質問

計測工学です。
１． 関数系｛１，√２sinωｔ，√２sin２ωｔ，・・・｝は，区間[－Ｔ/2，Ｔ/2]で正規直交関数系かどう　　　 か調べてください。但し，ω＝２π/Ｔです。

という問題です。分かる人がいたら回答をお願いします。

回答No.3

muturajcp · ベストアンサー

f_0(t)=1
n≧1のとき,f_n(t)=√2sin(2nπt/T)
{f_n(t)}_{n≧0}
において内積
<f_m,f_n>=∫_{-T/2～T/2}f_m(t)f_n(t)dt
とすると
<f_0,f_0>=∫_{-T/2～T/2}dt=T
<f_0,f_n>=∫_{-T/2～T/2}√2sin(2nπt/T)dt
=([√2cos(nπ)T/(2nπ)]-[√2cos(-nπ)T/(2nπ)])
=0
<f_n,f_n>=∫_{-T/2～T/2}[2{sin(2nπt/T)}^2]dt
=∫_{-T/2～T/2}[1-cos(4nπt/T)]dt
=([T/2-sin(2nπ)T/(4nπ)]-[-T/2-sin(-2nπ)T/(4nπ)])
=T
0<n<m
<f_m,f_n>=(1/T)∫_{-T/2～T/2}√2sin(2mπt/T)√2sin(2nπt/T)dt
=(1/T)2∫_{-T/2～T/2}{cos(2(m-n)πt/T)-cos(2(m+n)πt/T)}dt
=(1/T)2[sin((m-n)π)T/{2(m-n)π}-sin((m+n)π)T/{2(m+n)π}]-2[sin(-(m-n)π)T/{2(m-n)π}-sin(-(m+n)π)T/{2(m+n)π}]
=0
{f_n(t)}_{n≧0}は直交関数系となるが
T≠1のとき正規直交関数系ではない

(ただし内積<f_m,f_n>=(1/T)∫_{-T/2～T/2}f_m(t)f_n(t)dtと定義すれば{f_n(t)}_{n≧0}は正規直交関数系となる)

回答No.2

spring135

題意から数学カテゴリーでよいと思います。

Wikipediaに正しく定義されています。

それを見て自分でやってみてください。

http://ja.wikipedia.org/wiki/%E7%9B%B4%E4%BA%A4%E9%96%A2%E6%95%B0%E5%88%97

回答No.1

noname#157574

計測工学は数学カテゴリでは質問しないでください。カテゴリ違いです。

補足

すみません。。。工学の分野がなかったので。

どのカテゴリにすればいいんですか？