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大学の通信工学の問題について
mとnを任意の整数とするとき、時間tの関数cos(〖mω〗_0 t)とsin(nω_0 t)が直交することを証明せよ。但し、ω_0=2π/T、Tは周期である。 上記の問題の答えを教えて欲しいです！ 困ってます。よろしくお願いします！
- z20230423a
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tは0< t <πを満たす実数とする。 a[n]は数列です。 a[1] = cos t/2 a[n] = a [n-1](cos t/2^n) (n= 2, 3, ・・) のときに、a[n]をtを用いて表せ。 ------- いま 0< t <π, n≧2より, 0 < t/2^n <π/2^2=π/4より、0 < cos t/n^2である。 0< t/2 <π/2より 次に、a[1] = cos t/2 > ０である。つまり正、したがって、a[2] > 0となる。順次、この議論を 繰り返せば、帰納的にa[n] > 0である。 次に与式の対数(底はe)を取る n≧2のとき log a[n] = log a[n-1] + log cos t/2^n log a[n-1] = log a[n-2] + log cos t/2^(n-1) ・・ log a[2] = log a[1] + log cos t/2^2 上記を足し算すれば、log a[n] = log a[1] + log cos t/2^2 + ・・ + log cos t/2^(n-1) + log cos t/2^n log a[n] = log cos t/2 ・cos t/2^2 + ・・cos t/2^(n-1) ・cos t/2^n となる。 ---------------b ここで、 cos t/2 = sin t /2sin t/2 cos t/2^2 = {sin 2・t/4} / { 2sin t/4 }・・ cos t/2^n = {sin t/2^(n-1)} / {2sin t/2^n} となり、上記に代入して、分子分母を消去すると、a[n] = sin t / {2^n sin t/n^2} となる。 一応最後の答えは一致したのですが、不安なのが、-----------bより下の部分です。 やっぱり、cos t/2^n = 2sin t/2^n cost/2^n/ 2sin t/2^n を帰納法で証明したほうがいいですか？
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