フーリエ展開（ベッセル関数）

質問

cos(m_fsinω_st)=J_0(m_f)+2Σ_{n=1}^{∞}J_{2n}cos2nω_st
sin(m_fsinω_st)=2Σ_{n=1}^{∞}J_{2n+1}(m_f)sin(2n+1)ω_st

J_n(m_f)などは第一種ベッセル関数です。
この２式を導くにはフーリエ余弦・正弦展開すればいいと思うのですが、係数を求める際に、積分がうまくできません。三角関数の引数にさらに三角関数が入っているので、どのように積分したらいいのでしょう。

回答No.1

mmky · ベストアンサー

続きなので、手順参考まで

e^ixsinθ=Σa_n(x)*e^inθ
a_n(x)=(1/2π）∫[0→2π]e^ixsinθ*e^-inθdθ
このままではなんともならないので、
e^ixsinθを級数展開すると、
e^ixsinθ=Σ[0→∞]i^k*x^k*sin^kθ/k!
これと、
sin^kθ={(e^iθ-e^iθ)/2i}^k
の関係を使って項別積分形式にすれば、
a_n(x)
=(1/2π)(x/2)^k(1/k!)∫[0→2π](e^iθ-e^-iθ)^k*e^-inθdθ
nを0又は正として
(e^iθ-e^-iθ)^k を二項展開すれば、簡単になるでしょう。
k=n+2m m>0 以外でゼロ
(1/2π)∫[0→2π](e^iθ-e^-iθ)^k*e^-inθdθ
=(-1)^m*(n+2m)!/m!*(n+m)!
これらから
a_n(x)=(x/2)^nΣ[0→∞](-1)^m(x/2)^2m/m!*(n+m)!=J_n(x)
nが負の時も同じ、
だから　e^ixsinθ=Σ[－∞→∞]J_n(x)*e^inθ
のようにやればいいんです。

お礼

ありがとうございます。導出できました。
実際には母関数の定義も非常に役にたちました。