3重積分に関する問題です。

質問

3重積分に関する問題です。

|||v x^3・y^2・z dxdydz 1（※ | は、インテグラルの代わりです＾＾；）
v = {x^2 + y^2 + z^2 ≦ 1, x,y,z ≧ 1}

某大学受験の過去問にあるのですが、考え方が分からずに困っています。
このような問題を解く場合、積分範囲はどのようにして決定すればいいでしょうか？
範囲を決定した際の式の変形などがあれば、それも記載していただけると助かります。

解く際のポイントなど、ご教授よろしくお願いいたします。

回答No.4

info22_

> x,y,z≧0として
x=r*cos(t),y=r*sin(t)(0≦r≦1,0≦t≦π/2)とおくと
I=∫∫∫[v] x^3・y^2・z dxdydz=
=∫∫[x^2+y^2≦1,x≧0,y≧0] x^3*y^2*√(1-x^2-y^2)dxdy
=∫[0,π/2]dt∫[0,1] r^5cos^3(t)sin^2(t)√(1-r^2) rdr
=∫[0,π/2] cos^3(t)sin^2(t) dt∫[0,1] (r^6)√(1-r^2)dr
=I1*I2
ここで,

cos^3(t)sin^2(t)=(1/4)cos(t)sin^2(2t)
=(1/8)cos(t){1-cos(4t)}=(1/8)cos(t)-(1/8)cos(t)cos(4t)
=(1/8)cos(t)-(1/16){cos(5t)+cos(3t)}
この積分I1は出来ますね。

I2=∫[0,1] (r^6)√(1-r^2)drはr=sin(u)(0≦u≦π/2)で置換積分する。
I2=∫[0,1] (r^6)√(1-r^2)dr
=∫[0,π/2] (sin(u))^6*(cos(u))^2du
ここで
(sin(u))^6*(cos(u))^2=(1/4)((1-cos(2u))^2)*(1/4)(sin(2u))^2
=(1/16)(1-2cos(2u)+(cos(2u))^2)(1/2)(1-cos(4u))
=(1/64)(2-4cos(2u)+1+cos(4u))(1-cos(4u))
=(1/64){3-4cos(2u)-2cos(4u)+4cod(2u)cos(4u)-cos^2(4u)}
=(1/64){3-4cos(2u)-2cos(4u)}+(1/32){cos(6u)+cos(2u)}-(1/128)(1+cos(8u))
=(5/128)-(1/32)cos(2u)-(1/32)cos(4u)+(1/32)cos(6u)-(1/128)cos(8u)
この積分なら出来ますね。

I=I1*I2=(2/15)*(5π/256)=π/384

お礼

細かい計算まで記述していただきありがとうございました。