3重積分に関する問題です。

質問

3重積分に関する問題です。

|||v x^3・y^2・z dxdydz 1（※ | は、インテグラルの代わりです＾＾；）
v = {x^2 + y^2 + z^2 ≦ 1, x,y,z ≧ 1}

某大学受験の過去問にあるのですが、考え方が分からずに困っています。
このような問題を解く場合、積分範囲はどのようにして決定すればいいでしょうか？
範囲を決定した際の式の変形などがあれば、それも記載していただけると助かります。

解く際のポイントなど、ご教授よろしくお願いいたします。

回答No.2

mazimekko3

なんか便乗するようで悪いけど、

円柱座標に変換することは出来る。
(x,y,z) = (r cos?θ, r sin?θ, z )
x^3・y^2・z dxdydz = (r^6・cos^3?θ・sin^2?θ・z) dr dθ dz

ただし、積分範囲が
r^2 + z^2 ≦ 1, r≧0, z≧0, π/2≧θ≧0
になる。

θは分離してるから積分はsinθを置換すれば出来る。
t=sinθ, 1≧t≧0
∬∫(r^6・cos^3?θ・sin^2?θ・z) dr dθ dz
=∬∫(r^6・(1-t^2)・t^2・z) dr dt dz
=∬∫(r^6・(t^2-t^4)・z) dr dt dz
=(2/15)∬(r^6・z) dr dz
(詳細は間違ってるかもしれない)

しかしr,zの積分範囲がrz-平面の円弧になってるから、
結局は二次元の極座標に置換しなければならない。
これは最初から#1さんの示している三次元極座標に置換したことと同義になる。

お礼

円柱座標を用いての解き方までありがとうございます。

「結局は３次元極座標に置換したことと同義になる。」
納得しました。ありがとうございました。