問題集を解いていて、わからないことがあります。

質問

問題集を解いていて、わからないことがあります。
ベクトルの問題について、ちょっと確認してください

ＡＢベクトル（－１、０、４）
ＣＤベクトル（３、－３、－１２）

とします。ここで、上の二つのベクトルに垂直な大きさ１のベクトルを求めろ。

ここで、求めるベクトルの成分を

（Ｘ、Ｙ、√（１－ｘ＾２－Ｙ＾２））とおいて、

ＡＢベクトルとこのベクトルの成分同士を掛けて、０と置くと、

１７X^2+１６Y^2=１６
１７X^2+１７Y^2-２XY=１６

より、
Ｙ=0でＸ＝±４/√１７
Ｙ＝２Ｘのとき、Ｘ＝±４/９

となり、（±４/√１７、０、１/√１７）（±４/９、±８/９、１/９）

としたのですが、実際の答えは（４/９、８/９、－１/９）（－４/９、－８/９、１/９）

でした。よくわからないのは、なんで、（±４/√１７、０、１/√１７）が答えとしてでてこないのかです。最初に（Ｘ、Ｙ、√（１－ｘ＾２－Ｙ＾２））とおくのは、おそらく

（Ｘ、Ｙ、±√（１－ｘ＾２－Ｙ＾２））とおかないとまずいと思います。

このほかにも何か間違いがありますか？
おそらく、同値性に問題があるとおもうのですが、

回答No.2

info22_ · ベストアンサー

>実際の答えは（４/９、８/９、－１/９）（－４/９、－８/９、１/９）
これは間違っています。

実際にベクトル積を計算して直交ベクトルを出すと
ABxCD=(12,0,3)
CDxAB=(-12,0,-3)
それぞれの直交ベクトルの絶対値を計算すると両方とも同じ
|ABxCD|=|CDxAB|=√(12^2+3^2)=3√17
この絶対値で割れば求める単位ベクトル
±(1/3√17)(12,0,3)=±(1/√17)(4,0,3)
が得られます。
#1さんと同じ結果になります。

質問者の計算について

>求めるベクトルの成分を

誤：（Ｘ、Ｙ、√（１－ｘ＾２－Ｙ＾２））とおいて、
正：(X,Y,Z) (ただし,X^2+Y^2+Z^2=1)とおいて、

>ＡＢベクトルとこのベクトルの成分同士を掛けて、０と置くと、
>１７X^2+１６Y^2=１６
-X+4Z=0　…(A)

ＣＤベクトルとこのベクトルの成分同士を掛けて、０と置くと
>１７X^2+１７Y^2-２XY=１６
3X-3Y-12Z=0
X-Y-4Z=0 …(B)

および
X^2+Y^2+Z^2=1　…(C)

>より、

>Ｙ=0でＸ＝±４/√１７
>Ｙ＝２Ｘのとき、Ｘ＝±４/９
>となり、（±４/√１７、０、１/√１７）（±４/９、±８/９、１/９）

(A),(B),(C)を連立にして解けば
(X,Y,Z)=(4/√17,0,1/√17),(-4/√17,0,-1/√17)
と最初からまともな単位ベクトルが得られますよ。

回答No.3

naniwacchi

こんばんわ。

確かに外積を計算すると、#1さんの言われているようになりますね。

＞（Ｘ、Ｙ、±√（１－ｘ＾２－Ｙ＾２））とおかないとまずいと思います。
このようにおくと、計算が面倒に（ややこしく）なるので
求めるベクトルを
(x, y, z)　ただし、x^2+ y^2+ x^2＝ 1

と置いた方がいいですね。

あと、ベクトルCDについては、(1, -1, -4)として考えても構いませんね。
（あくまでも「方向」が大事で、大きさはどうでもいいので、計算を楽にするために 3をくくり出してしまう。）

＞実際の答えは（４/９、８/９、－１/９）
(4, 8, -1)と (-1, 0, 4)との内積を計算すると、0にはならないので直交はしていないようです。
(4, 8, -1)と (1, -1, -4)との内積は 0になりますね。

お礼

回答してくれた方はありがとう。ちょっと問題に不備がありましたので、出しなおします。

回答No.1

OKXavier

ABとCDの外積を計算すると、
AB×CD=3(4,0,1)
ですので、

大きさ１にし、逆ベクトルも考慮すると
答えは、±1/√(17)(4,0,1)

どうやら、答えが間違っているようですね。