導線を非常に細くした場合発生するインダクタンス等の増加成分について

質問

導線を非常に細くした場合発生するインダクタンス等の増加成分について
こんにちは
一定長さの導線を非常に細くしていくと、交流、パルスを導通させた場合、単に抵抗成分だけが増加するのでは無く、インダクタンス等の他の成分も増加すると聞きます。この増加成分は何でしょうか？またこの成分の増加は理論的、計算式によって求められるのでしょうか？

回答No.3

inara1 · ベストアンサー

手元の書籍（http://www.kyoritsu-pub.co.jp/sankosyo/contents/03022-2.html）のp.276によれば、半径 a (m)、長さ x (m) の直線状（円柱状）導体の自己インダクタンス L (H) は
　　　L = μ*x/(8*π) + μ0/(2*π)*[ x*log{ ( x + √（a＾2＋x＾2） )/a } - √（a＾2＋x＾2） + a ] --- (1)
だそうです（log は自然対数）。μ0 は真空の透磁率で μ0 = 4*π*10^(-7) = 1.2566×10^(-6) (kg・m/C^2)、μ は導体の透磁率です。非磁性体なら μ = μ 0 になります。x >> a のときは
　　　L ≒ x/(2*π)*[ μ/4 + μ0*{ log( 2*x/a) - 1 } ]
で近似されます。

ただし上式は、導体中に電流が一様に流れている場合のものです。周波数が高くなるほど電流分布が導体表面に偏る「表皮効果」が顕著になって、高周波では当てはまらなくなります（インパルス電流には高周波成分が多く含まれる）。電流が表面のみに分布している場合の自己インダクタンスは、式(1)の第二項（外部インダクタンス）のみの
　　　L = μ0/(2*π)*[ x*log{ ( x + √（a＾2＋x＾2） )/a } - √（a＾2＋x＾2） + a ]
となるそうです。表皮効果によって、電流が流れている部分の等価的な幅（表面からの深さ）δ(m) は、同じ書籍のp.301によれば
　　　δ = √{ 2*ρ/( ω*μ) }
だそうです。f を周波数 (Hz) としたとき ω = 2*π*f です。ρ は導体の抵抗率で、金なら 2.35×10^(-8) Ω・m です。f = 100MHz のとき、金なら δ = 7.7μm 、つまり電流は表面から 7.7μm の深さまでの部分に集中して流れているのと等価になります。

導体を細くすると抵抗も大きくなるので、導体全体のインピーダンス Z は
　　　Z = R + j*ω+L
としなければなりません（ j は虚数）。R （Ω）は
　　　R = ρ*x/(π*a^2)
で計算できます。これも表皮効果を考慮した場合には
　　　R = ρ*x/{ π*a^2 - π*( a - δ )^2 } = ρ*x/{ π*δ*( 2*a - δ ) }
となります。

添付図は x = 1cm のときのインダクタンスと抵抗の計算結果です。インダクタンスは表皮効果の影響はあまりないですが、抵抗はかなり変わっています（微小電流なら抵抗値はあまり関係ないもかもしれませんが）。

そもそも直線導体では大きなインダクタンスは得られません（nH オーダ）。コイル状にして巻き数を多くすれば、巻き数の2乗に比例したインダクタンスが得られますが、空芯コイルではやはり限界があります。高周波特性に気をつけなければなりませんが、強磁性体をコアとすればさらに比透磁率倍されます（インダクタは難しいですね）。

補足

毎々、ご回答頂きまして、本当にお世話になっております。

＞手元の書籍（http://www.kyoritsu-pub.co.jp/sankosyo/contents/03022-2.html）
この本は、大変評判の良い素晴らしい本のようですね。以前から名前だけは存じておりました。
この本を１冊購入するように致します。実は、質問をする前に調べようと
思っているのですが、まず何のどこを見たら良いのか？そこが解りませんでした。

＞ただし上式は、導体中に電流が一様に流れている場合のものです。周波数が高くなる
＞ほど電流分布が導体表面に偏る「表皮効果」が顕著になって、高周波では当てはまら
＞なくなります（インパルス電流には高周波成分が多く含まれる）。電流が表面のみに
＞分布している場合の自己インダクタンスは、式(1)の第二項（外部インダクタンス）
＞のみの
＞　　　L = μ0/(2*π)*[ x*log{ ( x + √（a＾2＋x＾2） )/a } - √（a＾2＋x＾2） + a ]
＞となるそうです。
お詳しいご説明有難う御座います。この式を見ますと、周波数に関わる変数が
無いように見えます。なぜで御座いましょうか？

＞f = 100MHz のとき、金なら δ = 7.7μm 、つまり電流は表面から 7.7μm の深さ
＞までの部分に集中して流れているのと等価になります。
インパルス電流には高周波成分が多く含まれますが、この場合の計算は大変
複雑になるのでしょうね。

＞高周波特性に気をつけなければなりませんが、強磁性体をコアとすればさらに比透磁率
＞倍されます（インダクタは難しいですね）。
その通りで御座います。
今考えておりますのは、可能な限り薄くした金に、可能な限りの電圧を印加させたいと
思っております。（但し実際に製作しません。計算だけをしたいです。）従いまして、
コイルにしますと、厚みが増えますので、出来れば、薄くするだけにしたいです。
無理難題申しまして恐れ入ります。m(_._)m

＞また、コッククロフト・ウォルトン回路につきましては、加速器に関する別の新しい
＞質問をして、物理関連の人に教えてもらうように致します。
以前、上記のお礼を書きました。申し訳ございません。読み方次第で、誤解を
招く書き方で御座いました。inara１様は多分電気・電子屋様なので、加速器に関する
ことは一般的に素粒子物理屋さんの分野なので、わざわざ調べてご回答頂くのは申し訳
ないと思い、書きました。お気を悪くなされたかもしれませんので、お詫び致します。
m(_._)m