誰か助けてください！！！

質問

現在高３受験生です。

（２＾ｎ）+１が１５で割り切れないのを示せ。
この問題やり方がわかんないんですけど、
皆さんどれくらいやり方思いつきますか？

できれば解説とともによろしくお願いいたします。

回答No.4

noname#24477 · ベストアンサー

別解になるかどうか。
１５で割り切れるを３と５にわけて考える

2^2＝４＝３＋１と考えます。
すると
2^nをｎが偶数、奇数で場合分けします。
2^(2m)＝(2^2)^m＝（３＋１）^m
これは３で割って１あまり
すなわち（２^n）+１は３で割って２あまり

2^(2m+1)＝｛（３＋１）^m｝＊２
これは３で割って２あまり
すなわち（2^n）＋１は３で割り切れる。

よってｎが奇数のときだけ考えればよい。

今度は２＾２＝４＝５－１と考えます。
ｎが奇数のとき
(2^(2m+1))＋１＝｛(2^2)^m}＊２＋１
＝{(5-1)^m}＊２＋１
だから５で割った余りは±２＋１のどちらかであり
５では割り切れない。

３で割り切れるときは５で割り切れない
だから１５では割り切れない。

補足
＃３の方の背理法では、すべてのｎについては成り立つ
わけではないとは言えますが、特別なｎについて成り立
たないかどうか？「１つもない」ことを言わなければな
らないわけですから不十分です。

回答No.3

masae1979

これは「背理法」（命題と論証のところ）ではないでしょうか。
「背理法」は高校生にとても嫌われる範囲ですけれど
カンタンにいうと

　　　　　　　結論を否定した
　　　　話をすすめると矛盾が出てきた、
　　　　　それは結論を否定したからだ、
　　　　　　　　命題は真だった、
という論法です。

あとは数学的帰納法とかですかね・・。（数列のところです）

背理法で証明してみますね。
（証明）
２＾ｎ＋１が１５でわりきれるとする．・・・（＊）

２＾ｎ＋１＝１５ｋとおける．（ｋ：整数）
２＾ｎ＝１５ｋ－１

ここで、（左辺）＝２＾ｎはｎの値に関わらず偶数であるが、
（右辺）＝１５ｋ－１は、
　　　　　ｋが偶数のとき奇数となり、　
　　　　　ｋが奇数のとき偶数となる．
よってこの等式は正しくない．

ゆえに（＊）は正しくないので、
命題「２＾ｎ＋１が１５で割り切れない」は真である．

と、こんなところでしょうか？
言葉や表記は自分流にされたらいいと思います。
もっと文字をふんだんに使ってもいいのでしょうけど。。

回答No.2

fibula

全然関係ない話ですが参考までに・・・

参考URL：

http://oshiete1.goo.ne.jp/kotaeru.php3?q=585731

回答No.1

yuusukekyouju

a(n)=(2^n)+1とおきます。
a(n+4)=(2^n+4)+1
=(2^n)×16+1
=(2^n)×15+(2^n)+1
=(2^n)×15+a(n)

つまりa(n+4)とa(n)は15で割ったあまりが同じということがわかります。
蛇足とはおもいますが、a(n+4)はa(n)に15の倍数(2^n)×15を足しているから
このため
a(1)=2^1+1=3 15でわればあまり3
a(2)=2^2+1=5 15でわればあまり5
a(3)=2^3+1=9 15でわればあまり9
a(4)=2^4+1=17 15でわればあまり2
となりあとは数学的帰納法で証明できます。
a(1),a(5),a(9)...15でわればあまり3
a(2),a(6),a(10)...15でわればあまり5
a(3),a(7),a(11)...15でわればあまり9
a(4),a(8),a(12)...15でわればあまり2
つまりすべてあまるが出る＝割り切れない