f(x)=sinx/x f(x)をx=0に於いて2次の項まで展開せよ。

質問

f(x)=sinx/x f(x)をx=0に於いて2次の項まで展開せよ。
この問題はどうやって解くのですか？ 答えは何ですか？
詳しく教えてください。

回答No.1

alice_44 · ベストアンサー

sin x をマクローリン展開すると、
sin 0 = 0 であることから、定数項が 0 である。
よって、展開の各項を x で割ることができ、
それが (sin x)/x のマクローリン展開になる。

sin x = 0 + x + 0x^2 + (-1/6)x^3 + 0x^4 + (1/120)x^5 + …
より、
(sin x)/x = 1 + (-1/6)x^2 + (1/120)x^4 + …
である。

「２次の項まで」というなら、(sin x)/x ≒ 1 + (-1/6)x^2。

参考URL：

http://www.ee.t-kougei.ac.jp/tuushin/lecture/math1/htdocs/function/derivative/maclaurin.html

お礼

回答ありがとうございます。
x=0の場合でもxは残ってよいのですか？

回答No.2

alice_44

＞ x=0の場合でも

その点を気にするなら、
「そもそも (sin x)/x は x=0 で定義されないので、
x=0 において多項式展開することは不可能。」と
答えて終わりにすることもできます。
そのほうが厳密ですから、試験の答案等には、
そのように書くとよいでしょう。

No.1 では、空気を読んで大雑把に、
(sin x)/x の可除特異点 x=0 を連続に埋めてしまい、
lim[t→x] (sin t)/t を x=0 において展開したのです。
よくなかったですね。

お礼

わかりました。
ありがとうございました。