関数f(x)={(e^2x)-1}/xとおく。f(x)をx=0に於いて

質問

関数f(x)={(e^2x)-1}/xとおく。f(x)をx=0に於いて2次の項まで展開せよ。
誰か詳しく教えてください。

回答No.1

proto · ベストアンサー

普通に展開するだけ。
ただf(x)を直接展開するより、e^xを展開してから目的の形に変形する方が簡単。

e^tを展開、
　　e^t = 1 +t +(t^2)/2 +(t^3)/6 +(t^4)/24 +...

t=2xを代入、
　　e^(2x) = 1 +2x +((2x)^2)/2 +((2x)^3)/6 +((2x)^4)/24 +...
　　　　 　= 1 +2x +2(x^2) +4(x^3)/3 +2(x^4)/3 +...

両辺から1を引く、
　　e^(2x)-1 = 2x +2(x^2) +4(x^3)/3 +2(x^4)/3 +...

両辺をxで割る、
　　(e^(2x)-1)/x = 2 +2x +4(x^2)/3 +2(x^3)/3 +...

完成。

　　f(x) = (e^(2x)-1)/x = 2 +2x +4(x^2)/3 +2(x^3)/3 +...
2次の項までなら、
　　f(x) = (e^(2x)-1)/x ≒ 2 +2x +4(x^2)/3

お礼

回答ありがとうございました。
xで割るのは後からやればいいんですね。
よくわかりました！