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公理と定義の違い
boisewebの回答
- boiseweb
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なるほど，やっとalice_44さんの主張の意味が分かりました．同時に，alice_44さんと私の議論が完全にすれ違いだったことも認識できました． No.6の舌の根の乾かぬうちに投稿するのは気が引けますが，すれ違いの原因についての私の見解を記しておくことは，後々この質問を参照する方々のために重要と思いますので，あえて記します． alice_44さんが念頭に置く「定義」というのは，「体の定義」とか「ベクトル空間の定義」のような，そもそもの体系の構築という意味での「定義」なのですね． そのことを指して「（公理主義的数学の立場では）数学的体系の定義は公理の集合（公理系）を設定することでなされる」と言うのなら，それは違和感がありませんし，数学の専門家の考えとも一致します． ただ，そのことだけを根拠に「定義とは公理の集合である」と断言するのは，いくらなんでも勇み足というものでしょう． 数学における「定義」という語の使われ方は，体系の構築だけではありません．すでに構築された体系の内部での記号や用語の導入，あるいは「f(x) を x^2+x+1 とする」のような一時的な記号の置き換えもやはり「定義」です．そして，これらは体系の構築としての「定義」とは区別されるべきものです． 一般の数学では，むしろ，こちらの意味で「定義」という語を頻繁に用います．私がNo.4で言及したのはこちらの意味での「定義」です． さて，miki_riseさんが挙げた例 (a) 1^0=1 (b) 2乗して-1になるのを i とする (c) f(x) を x^2+x+1 とする (d) 「対角線が直角に交わる平行四辺形を菱形という」（←修正済み） は， (1) （公理主義的立場での）体系の構築のための公理，公理系，あるいは定義 (2) （すでに構築された体系の内部での）用語や記号の導入のための定義，あるいは，一時的な記号の置き換えのための定義 のどちらの文脈で議論されるべきでしょうか．私はすべて(2)だと判断します．そして，(2)の意味での「定義」を説明するにあたって「定義とは公理の集合」という説を持ち出すのは，適切とは思えません（数学基礎論のスタンダードさえも外れています）． 「定義とは公理の集合」という説明で押すのなら，例(a)(b)(c)(d)には触れないで，たとえば「ベクトル空間の定義」のような，ふさわしい例を新たに提示して，独自に論を展開すべきだったと思います（それがmiki_riseさんの質問への適切な回答かどうかはともかく）．
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