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歩く亀に追いけない？ そんな話をご存知ですか？
昔、大学の一般教養の授業で、教授がある意味不明な話をしてくれて、それが全く理解できなかったので、もし分る方がいたら教えてください。 詳しくはよく覚えていないのですが、何メートルか先に亀が歩いているとして、その亀には絶対には追いつけない、という話で・・。人間は亀よりも足が速いわけだし、現実的に考えればそんなわけない、と思うのですが、その教授の難しい話では、人間は亀に追いつけない、ということになってしまう、らしいのです。 あれは、ナゾナゾとか、笑い話とかの類ではなく、何かしら説得力をもった理屈や理論みたいで、同じ話を聞いた知人もよくわからなかったとか・・。 その筋の世界ではけっこうメジャーな話だと思いますますので、もしかしたらご存知の方もおられるかと思います。 できたら、それを分りやすく、誰にでも分るように解説していただきたいのですが・・・。 一応、ふざけているわけではないので、その辺のご理解とご了承のほどをどうかよろしくお願いします。
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＞なぜかといえば、亀と人間では移動する速さが全く違う ではありませんか？ 人間が亀を追い越す地点に到達しないよう、 １度に進む距離をどんどん短くして誤魔化して いるのです。数学的には級数の和の問題として 説明できます。 １＋１／２＋１／４＋１／８・・・＝２ というふうに、前の半分の数を足していくと 以上のようになります。 人間が、あと２ｍで亀を追い越せるとしましょう。 人間が１ｍ走ると、亀は１．５ｍ（１＋１／２） まで動いている。 人間が１．５ｍまで走ると、亀は１．７５ｍ（１＋１／２＋１／４）まで動いている。・・・ といった具合に、わざと追い越せる地点まで 行かないようにしているのです。 ＞あれは、ナゾナゾとか、笑い話とかの類ではなく、何かしら説得力をもった理屈や理論みたいで、同じ話を聞いた知人もよくわからなかったとか・・。 これは紀元前５世紀のギリシャの話で、 だれでも現実にはおかしい話と感じても それを適切に論破できない例なんですね。 この説明だと、確かに人間は亀を追い越せない。 そのとおりなんです。 理論的に正しいことが必ずしも真実ではない という非常にいい例なんですね。
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- buzz_buzzard
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「アキレスと亀」のゼノンは古代ギリシャ、エレア学派の哲学者ですが、彼のこのパラドックスを理解するには哲学そのものとそれまでの経過を理解する必要があるでしょう。 哲学は「世界の根源とは何か」を求めてきたのですが、最初の古代ギリシャ哲学であるミレトス学派はそれを具体的な「物」に見いだしたのです。タレスはそれは水であるといい、ヘラクレイトスはそれを「火」といい、アナクシマンドロスはアルク（無規定的、始原的な存在）などといったのです。（それぞれ物括論、神秘論、原子／機械論などの影響を受けているので単純ではないが）これらの物質があらゆる物を作っていると考えたのです。 次に現れたピタゴラス（学派）は物そのものではなく物の持つ長さやその比率などの属性を世界の根源と考えたのです。音のハーモニーや音階が美しい数列を作り、それらが弦や管の長さと比例関係にあることに感銘し、あらゆる存在の質的な相違は、幾何学的な構造の相違にもとづくと考えたのです。 その次に現れたのがゼノンのエレア学派です。彼らは根源的存在の「不変」を重視しました。事象の見せる「多」も「変化」も感覚がもたらす誤りであるとし、明確な推論がもたらす結論を唯一で誤りのない真理であると考えたのです。アキレスが亀を追い越せないというのは、当時の論理レベルによる推論で得られた確実な結論だったのです。 この結論が事実と違うように感じられるのは、推論がアキレスが亀に追い付くまでの部分までしか扱っていないから追い越せないのです。その範囲内では正しいのですが、距離を縮めるのではなく、追い越すという質的な変化を嫌ったエレア派にとっては格好の実例だったのです。 この現実を軽視した一方的な論理重視は、詭弁を弄するソフィスト達を生み、青年たちに倫理的な荒廃をもたらし、それを憂えたソクラテスは青年達に真の知識や道徳を教えようとしたのです。現代でもアメリカなどでは理屈を重んじる欧米らしく、弁護士が多くて社会通念に反し、詭弁に近い活動で訴訟に勝つケースがまま見られます。 哲学一般にいえるのはその結論が事実と照合されなかったことに誤りがありました。求めるものは科学と同じなのですが、科学の「仮説」にとどまったままそれを真理と見誤ってきたのです。したがって近代以後の哲学は実存哲学のようにまだ科学の及ばない領域に活路を見いだすか、構造主義のようにフィールドワークを主体にして科学と同じ手法を取るようになってきています。
＃８－９です。 小学生高学年くらいの子にわかる様にというのであれば、少数や分数を理解していると仮定すると、図に書いて説明すれば、わかってくれると思います。 アキレスと亀が近づいてきたら、その部分を拡大する、というような感じで続けていけば、どこまでも続けられます。 言葉で説明するのなら、 「アキレスは亀に追いつく『瞬間』まで追いつけない。」 と、なると思います。 この問題って、追いついた後のこと考えてませんからね。 ・・・余計難しくなってしまいましたか？
no.５の方のリンクに掲載されている問題を使って話します。 アキレスの目標は、亀ではなくゴールです。 なぜか？ ゴールに到達することなしに、アキレスの勝利は無いからです。 亀を抜き去るだけで、アキレスは勝利を得たとはいえません。 だから、アキレスは、亀には目もくれず、ゴールに到達します。 なぜか？ 亀とアキレス、両者がゴールするまで、競走は終わらないからです。 全８レーンのうち、一等が決まった時点で、残り7レーンの走者の、それぞれのゴールがなくなるわけではありません。 皆がゴールして、初めて、競走は終わるからです。 自分に定められたものと戦わずして、チャンピオン（勝者）になることは、無いのです。 自分をおし超えずして、チャンピオンになることは、ない。 スーパースターは、観客がいなくても、かっこいい。ってことです。
- apple-man
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Ｎｏ．３の方が数学的帰納法のことを挙げられていたの で、思い出したのですが、このお話、 論理的な証明方法として有名な帰納法では 証明が不十分であるという例の１つです。 帰納法とは、個々の事例を沢山あげて、 そこからある一般論が正しいことを 証明する方法ですが、ここでは 人間が亀を追い越せない事例だけを 沢山あげて、だから一般的に人は亀を 追い越せないと証明しているのですが、 それが間違っていることは経験則から 明らか。 でももしこれが経験など、ほかの 方法で確認とれないとしたら・・・ ギリシャ哲学が流行だった、中世 ヨーロッパで法律家であり哲学者で あるフランシス・ベイコンが帰納法 に批判的だったのはこんな理由から だったのですが・・・
- hayachikun
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以前この話がNHKスペシャルに出てきた事があります。 アインシュタインロマンだったかな？ その時この話をしたのは数学者のパスカルでした。 パスカルは人間とカメではなく、チーターとカメの100m競争でこのパラドクスを弟子達に説きます。 チーターは100m、カメは1m手前の99mをそれぞれ走り？ます。 結局カメが（皆さんが言われてる理由から）先にゴールするのですが、その話を聞き終わった弟子の一人が、「そんな事はあり得ない。走る速度が違いすぎるし、たった1mのハンディならチーターはひとまたぎでカメを追い抜いてしまう！」と言い、他の弟子達も「その通りだ。先生ともあろうお方なんて馬鹿げた理論を展開するのか。」と口々に言ったそうです。 パスカルは「私は理屈を言っているのだから、理屈で答えなさい」と言い、そう言われた弟子達は理屈を返すどころか、皆黙ってしまったそうです。 mzuka0914さんの「昔の大学の授業」は正にパスカルと弟子のそれですね。 僕がその授業に出席してたら一番弟子、状態だったと思います。
- tan777tan
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このお話、パラドクスの説明はこの先人の方がたのお話のとおりです。ではこのパラドクスの問題点は８の方が少し話されている、時間を考慮していないことです。時間の経過をこの話に入れればこのパラドクスは無くなってしまうと思っています。 自信ないけどこれでいいですか、各位。
＃８です。 読み返したら、自分の説明がわかりにくいので補足します。 アキレスと亀の間が１００ｍとします。 アキレスが１００ｍすすむと、亀は２０ｍ進むとします。 アキレスが１００ｍ地点についた時点で、亀は１２０ｍ地点にいます。 アキレスが１２０ｍ地点についた時点で、亀は１２４ｍ地点にいます。 アキレスが１２４ｍ地点についた時点で、亀は１２４．８ｍ地点にいます。 という風に、時間を考えないでの繰り返しです。
こんばんわ。 もう皆さん、お書きになってると思ったのですが、これって微分の話ではなかったでしょうか？ アキレスが亀のいた地点（Ａ）まで進むと、亀も進んでいるので、亀はまだ先の地点（Ｂ）にいます。 アキレスが（Ｂ）まで進むと、亀は（C）に進んでいる。 という繰り返しで、実は時間的にだんだん細かくなってきている、というオチだった様な気がします。 違ってたら、ごめんなさい。
- Good-Man123
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回答はすでに出ているようですね（解りやすく書こうとしたら遅れてしまいました ：笑） 確かこの問いの間違いを、理論上（数学的に？）で証明した人はいないんじゃなかったかと思います。誰が聞いてもおかしいのに、その間違いを証明できないから有名になったんでしょうね。
- choochootrain
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前の回答者の方たちの説明、わかりやすいですね。 私はミヒャエルエンデの「モモ」にもこのパラドックスが出てきていたのを覚えています。すごく読みやすい本なのでおすすめです。
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お礼
ご回答ありがとうございました。 少しづつですが、頭の中で少しづつわかるようになりました。ようするに、机上の空論の話で、実世界の経験を持ち出してはいけないというわけですよね。 あくまでも理論で考える・・。 ところで、もし、これを小学生の高学年くらいの子供に説明して理論として納得させることはできるのでしょうか？