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積分計算です。
kup3kup3の回答
- kup3kup3
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こんにちは。部分積分を使います。 まず ∫[0.π] xcoskxdx =∫[0.π] (x/k)(sinkx)'dx =[(x/k)(sinkx)][0,π]-∫[0.π] (1/k)(sinkx)dx =0-(1/k)∫[0.π](sinkx)dx=-(1/k^2)[coskx][0.π] =-(1/k^2)[cos0-coskπ]=-(1/k^2)[1-(-1)^k] ・・・(1) ここで kは正の整数数だから coskπ=(-1)^k ・・・(2)を使いました。 それは cos2π=1,cosπ=cos3π=-1などから分かる。 次に ∫[π.2π](π-(x^2/4π))coskxdxのうち、 不定積分 ∫(-(x^2/4π))coskxdx だけやり方を示しておきます。 ∫(-(x^2/4π))coskxdx=∫(-(x^2/4πk))(sinkx)'dx =-(x^2/4πk)(sinkx)+∫((x^2/4πk))'(sinkx)dx =-(x^2/4πk))(sinkx)+∫((2x/4πk))(sinkx)dx =-(x^2/4πk))(sinkx)+1/(2πk)(∫(xsinkx)dx) =-(x^2/4πk))(sinkx)+1/(2πk^2)∫x(-coskx)'dx =-(x^2/4πk))(sinkx)+1/(2πk^2)[{-x(coskx)}+∫1(-coskx)dx] =-(x^2/4πk))(sinkx)+1/(2πk^2)[{-x(coskx)}-(1/k)sinkx+C] ・・・(3) 後は sinkπ=sin(k2π)=0 を使ってやります。まかせます。 (#) ポイント mを正の整数とするとき ∫(x^m)coskxdxや∫(x^m)sinkxdx などは部分積分を使う。使い方は ∫(x^m)coskxdx=∫(x^m){(1/k)(sinkx)}'dx としてやります。 coskxは何を微分すると出てくるかと考えます。この場合 (1/k)(sinkx)です。
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