最速降下線の式

質問

最速降下線の式
最速降下線の式を微分方程式を解いて求めたら

x=C_1 arctan(p)+C_1 p/(p^2+1)+C_2
y=y_1-C_1 /(p^2+1)
C_1,C_2,y_1は任意の定数(見やすくするために後ろに半角スペースが入っています)、pはパラメータです

最速降下線はサイクロイドであることは知っているのですが、上の式はサイクロイドなのかわかりません
パソコンでグラフを描いたら、サイクロイドのようなグラフになったので、たぶん式はあっていると思うのですが、パラメータをうまく消せません
上の式からどのようにしてパラメータを消せばよいのでしょうか

回答No.1

aquatarku5 · ベストアンサー

まず、サイクロイドかどうかの確認です。
t=arctan(p)とおくと、tan(t)=p、p^2+1=1/cos^2(t)
∴
x=C_1 t+C_1 cos^2(t)tan(t)+ C_2
　=C_1/2・(2t+sin(2t))+C_2
y=y_1-C_1cos^2(t)
　=-C_1/2・(1+cos(2t))+y_1
ここで、s=2t-πとおくと、
x=C_1/2・(s-sin(s)+π)+C_2
　即ちx-(πC_1/2+C_2)=C_1/2・(s-sin(s))　・・・(※)
y=-C_1/2・(1-sin(s))+y_1
　即ち-(y-y_1)=C_1/2・(1-sin(s))　・・・(※※)

(※)(※※)（の右辺）よりこれはサイクロイドを表す。即ち、
動円の半径C_1/2、回転角s=2arctan(p)-πのサイクロイド（☆）を、
x方向に(πC_1/2+C_2)平行移動、y方向にy_1平行移動し、更にx軸で
上下反転したもの。（☆は下記参考URL(Wiki)のそれとしています）。

次に、本題であるパラメータの消し方ですが、
y=y_1-C_1 /(p^2+1)から、
p^2=C_1/(y_1-y)-1　となるので、これよりpを求めて、
x=C_1 arctan(p)+C_1 p/(p^2+1)+C_2　の式に代入すれば、見栄え
はともかくxをy及び定数の式として表せます(pが正負２つあるので、解
は２つです）。

お礼

丁寧な回答ありがとうございます。
質問のミスで、本当はパラメータ表示のサイクロイドの式にどうすればなるのかが分かればそれでよかったのですが、パラメータの消し方も教えてくださって、とても参考になりました。

回答No.2

alice_44

サイクロイドって、普通、パラメータ表示しない？
サイクロイドの方程式表示って、あまり見かけない。

一見して arctan が目障りだから、
2θ = arctan(p) でパラメータを置換すると、
本などでよく見るサイクロイドの式になる。

お礼

すいません。質問のミスです。
よく見かけるパラメータ表示のサイクロイドの式にどうすればなるのかを質問するつもりでした。

arctanを置換するといいのですね。
回答ありがとうございました。