既出の質問を考えていますが、分かりません

質問

既出の質問を考えていますが、分かりません
アドバイスをお願いします。
次の極限値を求めよ。
lim(sinx/x)^(1/x^2) x->0

y=(sinx/x)^(1/x^2)とおく。対数を取り
logy=(1/x^2)(logsinx-logx)
このあと、(logsinx-logx)/(sinx-x)を考えてみたり
しましたが、うまくいきません。
また、ロピタルでできるかと思いましたが、不定。
グラフを描かせてみたら、なにやらよく分からない形
になりました。お手上げの状態です。よろしくアドバイス
お願いします。

回答No.2

alice_44 · ベストアンサー

級数展開を使っては、どうだろうか。

sin のマクローリン展開
sin x = x - (1/6)x~3 + o(x~5) より、
(sin x)/x = 1 -(1/6)x~2 + o(x~4) となる。

log の 1 におけるテーラー展開
log(1+h) = h - h~2 + o(h~3) に、
1+h = (sin x)/x を代入して、整理すれば、
log((sin x)/x) = -(1/6)x~2 + o(x~4) となる。

両辺を x~2 で割って、x→0 の極限をとれば、
lim[x→0] log y = -1/6 と解る。

よって、lim[x→0] y = exp(-1/6)。

お礼

解答を示されればなるほどと感心させられます。
log((sin x)/x)のマクローリン展開も、参考になりました。
ありがとうございました。

回答No.1

Tacosan

まじめに考えてはいないけど, ロピタルをしこたま使えば何とかならないかなぁ.

お礼

不定を解消できないように思います
ありがとうございました。