組み合わせの問題です。

質問

組み合わせの問題です。

１辺が３cmの正方形があります。　辺の１cmごとに点が打ってあります。
頂点も合わせて全部で１２の点があります。　このうち３点を選んで三角形を作るとき

(1)面積で分けるとき、何種類の三角形ができますか
答)９種類

(2)２平方センチである三角形は何種類になりますか。
答）３種類

というものですが、
(1)は　３×３＝９でもいいかな、と思ったのですが、斜めにカッティングされる三角形の面積はどのように場合分けしたらよいでしょうか。３種類ほどしかないので、地道に面積を出すしかないのでしょうか？

(2)については、答えになる図形の形は３種類とも分かったのですが、考え方が分かりません
　（(1)と同じく斜めにカッティングされているものの見つけ方が分からないです）

よろしくおねがいします。

回答No.1

Kules · ベストアンサー

(1)
まあしらみつぶしに探してもよさそうですが明らかにめんどくさいですね。同じ形になるものもたくさんありますし。
ということで三角形の面積は
底辺×高さ÷２
で求めることから、その値の組み合わせを考えたらよさそうです。
３点の選び方は、
1.２点が１辺を共有
2.３点とも違う辺上
3.２点が対角線上
になると思います。
1.２点が共有している辺を底辺にすれば、
底辺の長さは１～３cmの３通り、
高さも１～３cmの３通りですから、
底辺×高さの値の組み合わせは6通り
(底辺１、高さ２と底辺２、高さ１は面積が同じ)
2.３点とも違う辺上にあるということはどれか２点は対辺にあるはずです。
対辺にあるものの組み合わせは、
[1]正方形の辺と平行
[2]１つずれ
[3]２つずれ
の３パターンです。(３つずれは3.２点が対角線上に相当します)
[1]の場合は辺と平行になっているものを底辺と見れば高さは１か２なので1.で調べたものと面積は同じです。
[2]、[3]の場合、残りの１点を対辺の２点を結ぶ線に平行に移動させれば面積は変わらず、
高さ３で２点が辺を共有する三角形ができます。この時、辺上にある２点間の距離は
4/3、5/3、7/3、8/3のいずれかになります。(実際に描いてみるとそうなると思います)
このうち4/3の場合面積は２となり、1.で調べたものと同じ面積になります。
最後に3.ですが、これは1.で実は調べ終わっているので考える必要はありません。
従って、9通りとなります。
本当はもっと頂点の扱いとか厳密にした方がいいと思いますが、あまりいい書き方が思いつきませんでした。

(2)も上に書いたように調べていけば容易に見つかると思います。

長文失礼しました。参考になれば幸いです。