部分群であることの証明

質問

部分群であることの証明
Gを群、Hをその部分集合とし、a,b∈Gに対し、「a～b⇔ab^(-1)∈H」なる～ が同値関係であるとする。このとき、HはGの部分群であることを証明してほしいです。

部分群であることを証明するには、(1)結合法則が成り立つこと(2)単位元の存在(3)逆元の存在が言えればいいこと、
同値関係の定義については理解しています。

ですが証明文を書くことができず、困っています。

回答よろしくお願いします。

回答No.23

B-juggler · ベストアンサー

えっと、同値の関係は、それでいいと思いますよ。

「結果的に同じことになった」と前にも書いたかな？

この問題では二つの同値　～　と　⇔　がでてきているけれど、

両方とも、本来の意味として、結果的に同じになっているで、構いませんよ。

で、例に挙げた群だけど。。

実数全体（０を除く）　（以下、Ｒ０　と書くことにしますね）と

演算子掛け算　×　を持ってくると、群の定義は？

単位要素の存在、逆要素の存在、結合則の成立だよね。

Ｒ０の中から、好きな二つを取ってきます。

何でも構いません。掛け算した答えは、必ず実数になりますね。

　＃無理数も実数だからね。虚数にならなければいい。

ここで二項代数として成立。

単位要素は、「１」ですね。　任意のＲ０∋ｃ　について、

ｃ×１＝ｃ　動かないので単位要素だね。

逆要素は、ｃ＾（－１）だね。　ｃ×（１／ｃ）＝１　単位要素に帰るわけだから。

　＃０をどけたのは、これができないから。

例）　ｃ＝√２　のとき　ｃ×ｃ＾（－１）＝√２／√２　＝１

無限に要素があるけど、これはすごく簡明な群なんだけどな・・・。

この場合は数値になるから、Ｈもとりやすいと思うけれども。

取ってみてくれるかな？　そしたら少しつかめると思うけど。

そしてね、どっかでこれ見たことあるなぁ～と思ってました。

「群論への３０講」　志賀浩二　著　朝倉出版

この、第八項に同じのがある。

出身が電気工学で、この本で独学したんだ（＾＾；）

本屋さん（大きな）に行く機会があったら、捜してみて？

もう結構古いから、絶版かもしれないけれど。

代数を専門とされてはいないのかな。ちょっと出てきたと言う感じかな？

群　って言うのをもう少し分かってからのほうがいいのかもしれない問題かもね？

かじるくらいにしては、少し難しいかもしれない。

でもね、例に挙げたのが群だと思って、そこから部分群になるようにＨの要素を

持ってきてみて？

それができると、ある程度見晴らしがでてくると思う。

回答No.13

koko_u_u

>G∋aに対して、a～aはaa^(-1)∈Hと定義されている。
>aa^(-1)∈Hより、aa^(-1)=e∈H …(＊)
>よって、H≠Φ

a は何処からきたのですか？
「aa^(-1)∈Hより」は何処から？

>(2)a～aはaa^(-1)∈Hと定義されているから、aa^(-1)=eとなるような、
>a^(-1)∈Hが存在する。よって、逆元の存在が示せた。

何度も言うように、「Hの元」a^(-1) が存在することは、これでは論証できていません。

また、「～ が同値関係である」との条件は「もれなく」利用されていますか？
部分的な条件でも(例えば a～a さえ成り立てば)H が部分群であると言えますか？

補足

ご指導ありがとうございます。

>G∋aに対して、a～aはaa^(-1)∈Hと定義されている。…(ア)

このaはGの任意の要素としています。

>aa^(-1)∈Hより、aa^(-1)=e∈H …(＊)

aa^(-1)∈Hより、というのは(ア)からです。

＞何度も言うように、「Hの元」a^(-1) が存在することは、これでは論証できていません。

no.14さんが
「ｂのインバースがａのインバースと同じものになります」ということがわかればokということと同じことですよね。
これは、同値関係の
a～b⇒b～a
という性質を用いればよいでしょうか??

きちんと言葉で言えなければ…とは思うのですが、とりあえず記号で。

＞「～ が同値関係である」との条件は「もれなく」利用されていますか？

これは私自身、証明しながらとても疑問に思っていました。
ですが、本当に行き詰っていて…。
疑問を抱きながらの証明で、今もその疑問は解決していません。

回答No.12

B-juggler

う～ん、無理やり難しくしていますか・・・。

もっと素直にシンプルに♪

～　この記号に惑わされていますね・・・。

ｋｏｋｏさんもいわれてありますが、

「日本語で分かるように（！）」記述してみて？

「記号の同値」がこの場合に何を意味しているのかが、落っこってますね＞＜

難しく考えすぎですよ、そんなにきついことではないんだから。

前にも書いているけど、簡単な群の例を挙げてみて？

（０を除く実数全体，掛け算）　これは群ですね。

これをＧとしてみて、Ｈがどうなっているか、なんとなく見えてきませんか？

こんな感じですよ＾＾；

半分は、言葉の使い方の学問だとも言われるから

記号が分かっているからそれでいいか？と言われたらちょっと違うから＞＜

なれないうちは戸惑うけど、すぐに慣れるよ。

ダイジョウブ。がんばれ！

回答No.11

koko_u_u

>(1)より、
>H∋a, a～a⇔aa^(-1)=e∈H
>(2)より、
>H∋a,b, a～b⇒b～a⇔ab^(-1)=ba^(-1)∈H

(1)は惜しいけど、誤り。
H∋a はどこにかかる修飾子ですか？また、H が空集合でないことも示す必要がありますよ。

(2)は完全に誤り。最後に 「ab^(-1)=ba^(-1)∈H」が結論として得られているとして、おかしいと思いませんか？

⇔などの論理記号を使わない方がよいでしょう。日本語で論述して下さい。

補足

ご指導ありがとうございます。

まず、～について具体的に考えてみました。
同値関係については理解できていると思っていたのですが、実際以下のような具体例を考えてみて、まだ、イマイチ理解できていないような気がしました。
また変なことを書いているかもしれませんが、とりあえず以下に具体例を示しました。

ex)
Z={…,-3,-2,-1,0,1,2,3,…}について、
Z∋n,m, n～m⇔n-m∈3Z
Z/～={[0],[1],[2]}
[0]={0,±3,±6,…},[1]={±1,±4,±7,…},[2]={±2,±5,±8,…}

(1)3～3
3-3=0∈[0]
(2)2～5のとき、5～2
2-5=-3∈[0], 5-2=3∈[0]
(3)1～3,3～7のとき、1～7
1-3=-2∈[1], 3-7=-4∈[2], 1-7=-6∈[1+2]=[0]

つぎに、本題の証明です。

G∋aに対して、a～aはaa^(-1)∈Hと定義されている。
aa^(-1)∈Hより、aa^(-1)=e∈H …(＊)
よって、H≠Φ
H∋aに対して、
(1)(＊)より、ae=ea=aとなるような、e∈Hが存在する。よって、単位元の存在が示せた。
(2)a～aはaa^(-1)∈Hと定義されているから、aa^(-1)=eとなるような、a^(-1)∈Hが存在する。よって、逆元の存在が示せた。
以上から、HはGの部分群であることが示せた。…と思うのですが。

ご指導よろしくお願いします。

回答No.10

B-juggler

う～ん、ちょっと困ったねぇ・・・。

ａ，ｂが　Ｈ　に含まれる　（ａ，ｂ）∈Ｈ　とは書いてないね

落ち着いて。

問題はしっかり見てみようね。

それと、念のためなんだけど、

＞a～b⇔ab^(-1)∈H

ここの　～　この記号　がどういうことを意味しているのか？

言葉でいいから説明してみてくれないかな？

案外自分で書いてみると、分かることもあるから。

補足

困らせるつもりは全くないのですが…すみません。

～の意味は…

(1)x～x
(2)x～y⇒y～x
(3)x～y,y～z⇒x～z

この３条件を満たすとき、～を同値関係という。

(1)より、
H∋a, a～a⇔aa^(-1)=e∈H
(2)より、
H∋a,b, a～b⇒b～a⇔ab^(-1)=ba^(-1)∈H

またなんか変になっている気がしてきました…。
ホントにすみません。
ご指導よろしくお願いします。

回答No.9

koko_u_u

>(3)はあまり…ぜんぜん自信がないのですが…どうでしょうか??

(1)からしてまったく違います。

>仮定：H∋a,b. a～b⇔ab^(-1)∈H より、

は仮定ではありません。

回答No.8

B-juggler

Ｎｏ．６です。

そうそうその調子♪

もうちょっとですよ。

ａ　＊　ｂのインバース　　が何になっているのかが、見えると

部分群Ｈの形も見えるんだけど・・・。

～　が　どういう形のものかも、しっかりご覧になれば

ほとんど解けてますよ♪

こういうときは実例を一つ考えてみるのが早くて、

一つ例を挙げてみます。

Ｇを　置換群で　要素はＴだけ（！）　だと思って。

（１，２）の並びを、Ｔ（１，２）→（２，１）　こうなると。

Ｇは群になりますね。

このときの、ａ，ｂって何になるかな？

分かっていると思うんだけど、整理するだけだと思うよ。

落ち着いて、同値の記号などに惑わされずに、

ｂのインバースが何なのかが見えれば終わりだから。

がんばれ！

回答No.7

koko_u_u

>「a～b⇔ab^(-1)∈H」なる～ が同値関係であるとすると、
>a～a⇔aa^(-1)∈H
>よって、a∈H⇒a^(-1)∈H(逆元の存在)

どうして最後の結論が得られているのですか？
前提が何かまだ理解できていないように思われます。

a∈H に対して、a^(-1) ∈G が存在することは分かっているんですよ。
それが H の元だとどうして言えるのか、「～が同値関係である」はどう使われているのか、説明して下さい。

補足

回答ありがとうございます。

No.8さんへの補足もかねて…。

＞a∈H に対して、a^(-1) ∈G が存在することは分かっているんですよ。

この言葉で少しひらめきました!!

仮定：H∋a,b. a～b⇔ab^(-1)∈H より、
(1)a,b∈H⇒a,b^(-1)∈H⇒a(b^(-1))^(-1)=ab∈H
(2)a∈H⇒aa^(-1)=e∈H
(3)b∈H⇒eb^(-1)=b^(-1)∈H
(1)～(3)より、HはGの部分郡となる。

(3)はあまり…ぜんぜん自信がないのですが…どうでしょうか??
ご指導よろしくお願いします。

回答No.6

B-juggler

一回ちょっと落ち着いてみたら？

代数学屋です。

結合則は、群Ｇの中で証明されるから、そこから要素を持ってきているから、自明でいいと思う。

単位元、逆元だよね。

＞「a～b⇔ab^(-1)∈H」なる～ が同値関係であるとする。

ここよく見てみよう。それで終わりだと思うよ。

変にいじりまわすより、Ｓｉｎｐｌｅに。

代数学は、複雑にすればいいと思ってないかな？

それは違うからね。落ち着いて。　一目なんだけどなぁ～。

思ったまま簡単にかいて見られては？

補足

簡単にと言われても…とりあえず考え直してみました。

「a～b⇔ab^(-1)∈H」なる～ が同値関係であるとすると、
a～a⇔aa^(-1)∈H
よって、a∈H⇒a^(-1)∈H(逆元の存在)

a～a⇔aa^(-1)=e∈H
よって、e∈H(単位元の存在)

どうでしょうか??
ご指導よろしくお願いします。

回答No.5

koko_u_u

>a,b∈H⇒ab∈Hの証明：
>a,b∈Hのとき、
>a～a',b～b'ならば、
>aa'^(-1)∈H,bb'^(-1)∈H

突如現われた a' , b' は何者ですか？
これらを登場させる意図はなんですか？

>よって、
>ab(a'b')^(-1)∈H

「よって」の繋ぎ方がおかしいと思いませんか？
「aa'^(-1)∈H,bb'^(-1)∈H」から「ab(a'b')^(-1)∈H」が得られるのですか？

>ゆえに、ab～a'b'
>すなわち、
>ab∈H

なぜ「ab～a'b'」から「ab ∈ H」 が結論できるのですか？

「a～b⇔ab^(-1)∈H」は「～」の定義です。

「～」が同値関係にあることが前提で、H は海のものとも山のものともつかない
ただの部分集合です。

補足

指摘して下さったことは確かにその通りなのですが…
とにかく証明できなくて。

勉強不足ですみません。

回答No.4

koko_u_u

>以上から、
>～は同値関係である。
>
>いかがでしょうか…??

明らかに題意を見失っています。もういちどよく問題を読みましょう。

補足

回答ありがとうございます。
考え直してみました!!

まず、
a,b∈H⇒ab∈Hの証明：
a,b∈Hのとき、
a～a',b～b'ならば、
aa'^(-1)∈H,bb'^(-1)∈H
よって、
ab(a'b')^(-1)∈H
ゆえに、ab～a'b'
すなわち、
ab∈H

e∈Hであることの証明：
ee^(-1)=e∈H

H∋a⇒a^(-1)∈Hであることの証明はよくわからないのですが…：
H∋aのとき、
a～a'ならば、aa'^(-1)∈H

a^(-1)a'^(-1)∈Hが言えれば、a^(-1)∈Hが言えるのではないかと思うのですが、言えません!!

またご指導いただければと思います。
よろしくお願いします。