こんばんわ。問題集の中で解けない問題があり困っています。

質問

こんばんわ。問題集の中で解けない問題があり困っています。

x＾2+y＾2=1のとき、2x+3yの最大値を求めよ。

なのですが
相加・相乗の関係を用いても
（x＾2+y＾2)(a＾2+b＾2)≧(xa+yb)＾2を用いても
求められず困っています。

解き方やアドバイスをお願いします。

回答No.2

naniwacchi · ベストアンサー

こんばんわ。

xと yは実数であるということでよろしいですか？（意外と重要な点です。）

2x+ 3y＝ kとすると、kのとりうる値の範囲がわかればよいことになります。
#1さんの方針のほかに 2とおりの方法があります。

(i) 上記の式と x^2+ y^2＝ 1を連立させると、xの 2次方程式（または、yの 2次方程式）が導かれます。
その 2次方程式が -1≦ x≦ 1なる実数解をもつ条件を考え、kの範囲を求めます。

(ii) 2x+3y＝ kは直線の方程式を x^2+ y^2＝ 1は円の方程式を与えます。
直線と円が共有点をもつように kの値を変化させると、kはある範囲の値しか取れないことがわかります。
ちなみに、kは 直線の y切片を与えます。（y切片そのものにはなりません）

お礼

ありがとうございます。
失礼しました！x yともに実数です。

（i)の方法に挑戦したのですが、
式が複雑になってしまいました。
（kの2乗とxの2乗が混ざってしまいました・・。）
式の展開でミスをしているのかもしれないのでまだ挑戦してみます！

2つもの方法をありがとうございます！！

回答No.7

htms42

この問題は条件付きの最大・最小の問題の例の一つです。
接する点で最大値を取るというのは大事な認識だと思っています。

統計力学などでは条件付きの最大値を求めるという問題がよく出てきます。
エネルギー一定でとか、粒子数一定でとかの場面です。
「ラグランジュの未定乗数法」というのが出てきます。
何かよく分からないテクニカルな方法だと思っている学生も多いです。とにかく解くことができるからそれでいいという扱いになってしまっています。
でもこの方法も、ここで見た「接する時に最大値になる」ということを使っているのです。条件式が直線ではありませんので接する条件を表すためには微分を使います。

お礼

参考になるアドバイスありがとうございます。
さまざまな場面で出てくるとわ・・・
改めて、しっかり理解しなきゃいけないんだなと思いました。
ありがとうございます。

回答No.6

naniwacchi

#2です。

htms42さん、フォローありがとうございます。
おっしゃられているとおり、(ii)の方法で解くには (i)の方法も使うことになります。
「共有点をもつ ＝ 2次方程式が実数解をもつ」という構図となるからです。

(ii)の方法は名前は正確ではありませんが、「線形計画法」と呼ばれる方法になぞらえられることがありますね。
（グラフから最大・最小を求めるということで、同じ類の問題として扱われることもあるという意味です。）

お礼

たびたびのアドバイスをありがとうございます。
解くことができました！
心から感謝しています！！
ありがとうございました！！！

回答No.5

htms42

私としては＃２の（ii）のイメージが基本だろうと思っています。
（ii）のイメージがあって、では「「どうやってその接する時のｋを求めるのか」という段階で（i）になるのです。
（i）だけで（ii）を考えずに解くこともできます。でも（ii）だけでは解くことはできません。
でも(ii)が分かっていることが必要であると思っています。

(ｘ^2＋ｙ^2)(ａ^2＋ｂ^2)≧(ａｘ＋ｂｙ)^2　を使った場合の等号成立の条件は　ｂｘ＝ａｙ　です。
ｂｘ＝ａｙ　は原点を通る、ａｘ＋ｂｙ＝ｋ　に垂直な直線を表しています。

ｘ^2＋ｙ^2＝１　に　ａｘ＋ｂｙ＝ｋ　が接するときの接点は、ｘ^2＋ｙ^2＝１　と　ａｙ＝ｂｘ　との交点でもあることになります。この交点の計算は判別式を使う計算よりも簡単です。

(ii)の判断は楕円の場合でも有効ですが(ｘ^2＋ｙ^2)(ａ^2＋ｂ^2)≧(ａｘ＋ｂｙ)^2は楕円にたいしては使うことができません。（楕円の場合に修正した式を作ることもできますが等号成立条件は垂直な直線ではなくなります。）

ついでに
(ｘ^2＋ｙ^2)(ａ^2＋ｂ^2)≧(ａｘ＋ｂｙ)^2
の図形的な意味を考えてみます。

直線ｃ：ａｘ＋ｂｙ＝ｋ　の上の点Ｐ(ｘ、ｙ)を考えます。ｘ^2＋ｙ^2＝ｒ^2とするとｒは原点と点Ｐとの距離です。この距離の最小値は原点から直線ｃに下ろした垂線の長さＬです。ｒ≧Ｌです。
原点から直線ｃに下ろした垂線の式は　ａｙ＝ｂｘ　ですから交点を求めることができます。
Ｌ^2＝(ａｋ／（ａ^2＋ｂ^2）＋ｂｋ／(ａ^2＋ｂｙ))^2＝ｋ^2／(ａ^2＋ｂ^2)
ｒ^2≧Ｌ^2　に代入して整理すれば
(ｘ^2＋ｙ^2)(ａ^2＋ｂ^2)≧(ａｘ＋ｂｙ)^2
が出てきます。
円を固定して直線を動かすか、直線を固定して円を動かすかの違いであると考えるとご質問の場合と同じ場面になっていることが分かります。

お礼

とても具体的に書いてくださりありがとうございます。
考え方がよく分かりました！
参考にし、解くことができました。
ありがとうございます！！

回答No.4

Tacosan

えぇっと.... 何をどうやったら相殺されるんだろう.
(x^2+y^2)(a^x+b^2) ≧ (ax+by)^2
に a=2, b=3 を突っ込むと
(x^2+y^2)(2^2+3^2) ≧ (2x+3y)^2. 左辺のうち x^2+y^2 は条件から 1. 相殺されるところがないような気しかしないのだが....
ただし, 等号が成り立つかどうかは別途確かめる必要があります.

お礼

なぜ解けなかったのか分かりました！
統合が成り立つか確かめる必要があるのが大変な点だったのですね！
何度もの質問に丁寧に答えてくださってありがとうございます。

回答No.3

Tacosan

ちょっと考えれば
(x^2+y^2)(a^2+b^2)≧(xa+yb)^2
からも求まりますな. 実はちょっと危険だけど.

お礼

ありがとうございます。

この方法で求められるのですか！？
私が計算したら相殺されて0になってしまいました・・。

でも問題集の例題この方法で解かれているので
この方法で解けたらいいんですが・・。
もう１度解いてみます。

回答No.1

Mr_Holland

次のように変数変換をして、三角関数の最大値を求める問題に置き換えてみてください。

　　ｘ＝cosθ、　ｙ＝sinθ　（０≦θ＜２π）

　三角関数の最大値を求めるときは、三角関数の合成を行うと良いと思います。

お礼

ありがとうございます。
挑戦してみたのですが三角関数は始めたばかりなので
合成がよく分かりません。
でも、テキストを参考しながら挑戦してみます。