ベクトルの問題で、教科書の最後の答えの部分の導き方がわかりません

質問

三つのベクトルa→=(1.1),b→=(1,-1), c→=(1.2)に対して、
(1)xa→+yb→で表せられるベクトルがｃ→に垂直であるとき、ｘとｙとの間に成り立つ関係式を求めよ。

（２）さらに、このベクトルの大きさが2√５であるとき、ｘa→+yb→をもとめよ。

この問題大体とけたのですけど、最後の部分だけ、教科書の解答通りになりませんでした＞＿＜

まず（1)はｘａ＋ｙｂなので、ｘ（１．１）＋ｙ（１、－１）＝（ｘ＋ｙ、ｘ－ｙ）より、垂直の公式は＝０となるので、これに当てはめて式を作ると、ｙ＝３ｘと求まりました。

（２）は、題意にさらにこのベクトルの大きさが２√５であるときというので、｜ｘａ＋ｙｂ｜＝２√５とまず考え、
（１）の時にｘａ＋ｙｂ＝（ｘ＋ｙ、ｘ－ｙ）と求まっているので、
（ｘ＋ｙ）｀２＋（ｘ－ｙ）｀２＝２√５の二乗より
ｘ｀２＋ｙ｀２＝１０と求まり

（１）よりｙ＝３ｘと求まっているので上の式に代入すると、
ｘ＝±１、ｙ＝±３　と求まりました。
ここまでは出来たのですけど、最後の部分で教科書をみると
答えが
∴ｘａ＋ｙｂ＝（４，－２）、（－４，２）と解答でなってます。

これはどうやってｘ＝±１、ｙ＝±３　から（４．－２）、（－４，２）と求めたのかわかりませんでした。＞＿＜
どなたか教えてください宜しくお願いします！！！

回答No.2

noname#20644 · ベストアンサー

ベクトルを頭に描きます。
aは原点から(1,1)に向かうベクトル、bは原点から(1,-1)に向かうベクトル、
x・aは原点から(x,x)に向かうベクトル、y・bは原点から(y,-y)に向かうベクトル、
x・a+y・bは原点から(x,x)に向かうベクトルに、起点を(x,x)に移したy・bベクトルを加える、
つまり、(x,x)から(x+y,ｘ-y)に向かうベクトルを描き加え、
原点からその終点(x+y,ｘ-y)に向かうベクトルを描く。これが問題のベクトルとなります。

(1)
原点から(x+y,ｘ-y)に向かうベクトルが、原点から(1,2)に向かうベクトルcと直交している。
従って、{(x-y)/(x+y)}・(2/1)=-1
これから、2(x-y)=-(x+y)、つまり、y=3x
(答えられたように、1・(x+y)+2・(x-y)=0　としても同じ結果を得ます。）

(2)
さて、原点から(x+y,ｘ-y)に向かうベクトルの大きさは、√{(x+y)^2+(x-y)^2}であり、
yは既に3xに等しいことを知っている。
従って、√{(x+3x)^2+(x-3x)^2}=√(20・x^2)であり、これが2√5に等しいとされている。
√(20・x^2)と2√5を比較して、共に正であることが確認できるので無条件で自乗してもよい。
自乗すると、20・x^2=20、故にx=±1で、これから、y=±3
問題のベクトルの終点は、(x+y,ｘ-y)だから、数値を代入して上号のとき、(1+3,1-3)=(4,2)
下号のとき、(-1+3,-1-3)=(2,-4)

従って、答えは　(4,2)　または　(2,-4)

回答No.1

noname#24129

仮定は、

a=(1.1),b=(1,-1)　・・・(A)

導出した小結論は、

　y=3x　・・・(1)

　(x,y)=(±1,±3)　(複合同順)　・・・(2)

(A),(2)から、解答に結びつく。

すなわち、

i)x=1のときはy=3で、このとき、
xa+yb=(1,1)+3(1,-1)=(4,-2)

)x=-1のときはy=-3で、このとき、
xa+yb=-(1,1)-3(1,-1)=(-4,2)