2変数の最小値問題について

質問

高校数学の質問です。

実数a,bが　a>-1,b>-2　を満たしているとき、
2b + 2/(a+1) + (2a+2)/(b+2)
の最小値を求める問題で、数学IIIの微分を用いたり、3数の相加相乗平均の関係を用いれば解くことができたのですが、数学IIBまでの知識で解くことはできませんか？問題を見たときの直感では相加相乗は使うと思うのですが…。

どなたかよろしくお願いします。

回答No.4

owata-www · ベストアンサー

たぶん合っていると思いますが…

a＋1＝X、b＋2＝Yとすると、X＞0、Y＞0で、
Ｍ＝2b + 2/(a+1) + (2a+2)/(b+2)＝2（Y-2）＋2/X＋（2X）/Y＝2Y＋（2/X）＋（2X/Y）-4＝2（Y + 1/X + X/Y）- 4
よって、Ｍ＝2（Y + 1/X + X/Y）- 4の最小値を求めればよい

まず、Yを固定して考えると相加相乗平均より、
1/X + X/Y≧2√（1/X*X/Y）＝2√(1/Y)
等号は1/X＝X/Y、つまりX＝√Yの時に成り立ち、任意のYに対し、X＝√Yととることができる

よって、
2（Y + 1/X + X/Y）- 4≧2（Y + 2/√Y）- 4が成り立つ。
ここで、√Y＝tとおくと、
Y + 2/√Y＝(t^3+2)/tであり、
ここで、(t^3+2)/t＝kとおくと、
kの存在する範囲→t^3 - kt +2＝0がt>0で解を持つ0<kの範囲

これを微分とかを使って（３次なんで多分セーフかと）、求めると
３≦kが求まり、この時t＝1

まとめて、X=Y=1つまり、a=0、b=-1の時、最小値２を取る

でいいはず

お礼

回答ありがとうございます。

こんな方法もあるのだと感心しました。

ただ、＃5さんの回答と踏まえて考えると少しわからなくなりそうですね。

回答No.11

arrysthmia

No.10 の解法の論点が、どこにあるか分かりましたか？
アレが何をやっているか、考えてみましょう。
微分も、公式としての多項目の相加相乗平均の関係も
使わないで解きたいのなら、
３項目の相加相乗平均の関係を、その場で証明してしまえ
と言っているのです。

多項目の相加相乗平均の関係を証明するには、
２項目の場合の繰り返しから攻めるよりも、
log の凸性の話にしたほうが、見通しがよく、簡明ですが、
数学IIIの微分を用いない　と質問文にあったので、
有名な、数学的帰納法を使う流儀に沿ってみたのです。

回答No.10

arrysthmia

２項目の相加相乗平均の関係は使ってよいなら、
A/B と F/3 の相加相乗平均を考えればよい。
(A/B) + (F/3) ≧ 2 √{ (A/B)(F/3) }.

これより、
B + (1/A) + (A/B) + (F/3) ≧ 2 √(B/A) + 2 √{ (A/B)(F/3) }.

更に、√(B/A) と √{ (A/B)(F/3) } の相加相乗平均を考えれば、
√(B/A) + √{ (A/B)(F/3) } ≧ 2 √{ √(B/A) ・ √{ (A/B)(F/3) } } = 2 (F/3)^(1/4).

結局、(4/3) F ≧ 4 (F/3)^(1/4) ということだから、F ≧ 3 とわかる。
これなら、３項目の相加相乗平均の関係を「表立っては」使っていない。

ズルいって？ もちろん、ズルいですよ。
そもそも、微分の替わりに相加相乗平均を使えと言いながら、３項目はイカンというのがズルい。
No.4 のように途中から微分の話にするくらいなら、素直に最初から、
a を固定して b で微分すると増減は… とすれば、全く指先の仕事だけで済む。

お礼

ずるいも何も、受験数学においては3数に対しての相加相乗平均はその場で証明しない限り原則使うことができません。

回答No.9

arrysthmia

2b + 2/(a+1) + (2a+2)/(b+2) = -4 + 2 F,
F = B + 1/A + A/B,
A = a + 1,
B = b + 2.
と整理する。
A > 0, B > 0 の条件下に、F の最小値を求めればよい訳だ。

３項目の相加相乗平均の関係を使えば、
F ≧ 3・{ B・(1/A)・(A/B) }^(1/3) = 3.
等号成立条件は B = 1/A = A/B となって、
与式の最小値 2 を得る。
No.3 は、最後に -4 するのを忘れたのであって、
相加相乗平均の使い方に間違いがあったのではない。

＞ 一回目の相加相乗平均の等号成立条件から、変数の数を一つ減らした上で
＞ さらに相加相乗平均を使うと、どうしても#5に書いたような”不等式関係”
＞ を得るだけで最小値は得られません。

１回目の相加相乗平均の関係から、
F ≧ 2・{ B・(1/A) }^(1/2) + (A/B).
等号成立条件 B = 1/A から B を消去すると、
F ≧ 2/A + A^2.
さらに相加相乗平均の関係を使うときに、正しく、
３項目の相加相乗平均の関係
1/A + 1/A + A^2 ≧ 3・{ (1/A)・(1/A)・A^2 }
とすればよいだけの話だ。

このとき、B を 1/A と書き換えてあたかどうか
は、話の本筋と関係がないし、
何も微分することばかりがエライのではない。

お礼

回答ありがとうございます。

しかし今回は、3数の相加相乗は使わない条件での解答を求めています。それは質問文に書いてあります。

回答No.8

e_o_m

#5です。

#6が別に#1～#3の解答でもいいのでは？とおっしゃっていますが、やはりそうは思いません。
#3さんはやはり3数に対して相加相乗平均を使っているのでしょう。
一回目の相加相乗平均の等号成立条件から、変数の数を一つ減らした上でさらに相加相乗平均を使うと、どうしても#5に書いたような”不等式関係”を得るだけで最小値は得られません。

#4さんの解答にある通り、2数に対しての相加相乗平均を一度使い変数の数を一つ減らし、その中で最小値を考えるというのは正しい相加相乗平均の使い方です。

与式をf(x,y)と2変数の関数値だと思えば、相加相乗平均を使うと等号成立条件から変数の数を一つ減らすことができ
『f(x、y)の最小値がg(x)、（あるいはh(y)）というｘ(又はy)の関数として与えられます。』
ですので、このg(x),（あるいはh(y)）の最小値を求めれば、それはすなわちf(x,y)の正しい最小値となっているわけです。

また長々と書いてしまい読みにくいかもしれませんが、少しでも参考になれば幸いです。

お礼

回答ありがとうございます。

納得しました。が、ここまで面倒な問題だったんですね。問題見た瞬間はここまで厄介だとは思っていませんでした＾＾；

回答No.7

arrysthmia

いいんじゃないの？ No.3で。
a と b の２変数関数の最小値を考えているので、
相加相乗平均の関係を２度使った際の、
２個の等号成立条件が a, b を求める連立方程式
になって、特に不都合は無い。
(計算違いが無いかどうかは知らんけど。)

No.1 は、最後の部分に問題があって惜しかったけれど、
ああやって、相加相乗平均の関係を２度使う経過は、
３項目の相加相乗平均の関係を証明するときに
２項目の相加相乗平均の関係を２度使う経過を、
この問題の具体的な３項に当てはめてなぞっているだけ
だから、その部分に間違いは無い。
等号成立条件から A, B の値を求めて、
最後の √{√(A/B)} に代入すればよかったのだ。

お礼

回答ありがとうございます。

今だに
x＞0、y＞0から　2y＋（2/x）＋（2x/y）≧6　

の部分が理解できません。3数の相加相乗平均を使っているように見えるのですが…。

回答No.6

TM_macchan

なるほど。
私の回答は誤りでした。
検算してもうまく０にならないので気になっていましたが、根本から使い方を誤っていたのですね。
どうも混乱させてしまってすみませんでした。

＃３さんの回答に半分乗っかって再度相加相乗を使って
Ｙ＋２／√Ｙ≧２(Ｙ×２／√Ｙ)としても、
等号成立はＹ＝２＾（２／３）となって、
求めるべきＭの値は２よりも大きくなってしまい、正しい最小値を見積もることができませんでした。

３数の相加相乗を使っても、
＃３さんと同じ、Ｘ＝Ｙ＝１のとき最小値２となるので、一応数値は、＃３さんが正解を得ていると思います。

回答No.5

e_o_m

解答ではないのですが、皆さん相加相乗で一番やってはいけないことをやっているので、ご指摘を・・・

相加相乗平均の関係は、"最小値"を与えるのではなく、唯の不等式関係を与えているだけです。
以下の間違った例を見て下さい

x>0の時　x^2>0より
x^2+1≧2x (x^2=1　すなわちx=1の時等号成立)
>0　(x>0より)
よってx^2+1の最小値は0

x^2+1の最小値は当然1となるはずですが、上の結果を見ると0となってしまっています。
一つ目の不等式というのは、x>0に対して　x^2+1≧2x　のような関係が成り立っていてx=1の時には　1^2+1=2*1　と等号が成立しているということしか述べていません。その不等式の右辺の2xについての最小値をとったところで、それがx^2+1の最小値とは限らないのです。

相加相乗平均の関係を習うとき、その適用例として
x>0に対して
x+1/x≧2　(等号成立はx=1のとき)
のように習っていますが、この時は右辺に"変数が現れていない"ために最小値を与えているのです。

相加相乗平均の関係を用いて右辺に変数が出てくる時は、偶然の一致を除いて基本的には最小値を与えません。

相加相乗平均を用いて出した右辺の最小値を与える時の、x,yなりの値が不等式の等号成立条件と一致した場合のみ、そのことを明記すればそれが正しい最小値を与えます。
この問題の場合それが出来るかわかりませんが、以上のことを明記しなければ正しい解答となり得ませんので、#3さんのままでは2数の相加相乗平均の関係を用いた完璧な解答ではないと思われます。

補足

回答ありがとうございます。
その件は以前から気になっているところです。

3数の相加相乗を使えば変数を完全に消去できるので最小値が求められます。

勉強になりました。

回答No.3

mister_moonlight

やっぱり、計算ミス。ｗ

x＞0、y＞0から　2y＋（2/x）＋（2x/y）≧6　等号はxy＝1、y＝x＾2、即ち　x＝y＝1の時。‥‥(2)
以上、(1)と(2)からＭ≧2　a＝0、b＝-1.

お礼

回答ありがとうございます。

「x＞0、y＞0から　2y＋（2/x）＋（2x/y）≧6」の不等式がどこから出てきたものが理解できません…。2数の相加相乗平均の関係だけでそれは導出できるのですか？

もしお暇があれば補足をお願いします。

回答No.2

mister_moonlight

2数の相加平均・相乗平均で十分。

a＋1＝x、b＋2＝yとすると、x＞0、y＞0.
Ｍ＝2b + 2/(a+1) + (2a+2)/(b+2)＝2（y-2）＋2/x＋（2x）/y＝2y＋（2/x）＋（2x/y）-4.　‥‥(1)
x＞0、y＞0から　2y＋（2/x）＋（2x/y）≧4√2　等号はxy＝1、y＝x＾2、即ち　x＝y＝1の時。‥‥(2)
以上、(1)と(2)からＭ≧4（√2-1）　a＝0、b＝-1.

計算に自信なし、検算してね。

回答No.1

TM_macchan

数ＩＩＢの範囲がどこまでか分かりませんが、
面白そうだったのでやってみました。

相加相乗平均の関係式は使ってもよいのですね？

相加相乗平均の関係式を使うために、
A = a+1, B = b+2 とおきます。
A>0, B>0 です。

求めるべき式をｆとおくと、
f = 2(B + 1/A + A/B) - 4
> 2(2√(B/A) + A/B) - 4 ※１項目と２項目で相加相乗。
ここで、
2×√(B/A) + A/B
> 2×√{2×√(B/A) × A/B} ※A/B>0だから相加相乗。
= 2×√{2×√(B/A)×(√(A/B))^2}
= 2√{2×√(A/B)}
= 2√2 × √{√(A/B)}
だから、
f> 2[2√2 × √{√(A/B)}] - 4
= 4[√2×√{√(A/B)} -1]
√{√(A/B)}　> 0 だから、ｆの最小値は、０。

最小となるのは、√2×√{√(A/B)} = 1　から、
a + b/4 + 1/2 =0 のとき。

かなり眠いのでどっか計算間違いをしているかもしれませんが、
２数の相加相乗を使って最小値を求めるのであれば、
この方針だと思います。

３数の相加相乗平均を使うと、３乗根を何とかして処理しないといけないですが、答えは同じになるのでしょうか。。

f = x+y+z(x,y), x>0,y>0のときに、
１項目と２項目だけに相加相乗の関係式を使って
f > 2√(xy) + z(x,y)　となることの証明は必要でしょうか。

「４乗根」が数ＩＩＢの範囲を超えるものであっても
√{√(A/B)}が「２乗して√(A/B)になる数」であることは
記号「√」の定義を知っていれば何も新しい概念の必要なく理解できると思います。

この回答、ルール違反でしたら、ごめんなさい。

お礼

回答ありがとうございます。

3数の相加相乗を使えば
2b + 2/(a+1) + (2a+2)/(b+2)
＝2(b-2) + 2/(a+1) + 2(a+1)/(b+2)
≧8^(1/3)＝2
統合成立は3数が等しいときで、すぐに(a,b)＝(0,-1)とでる。

となって一瞬でできます。しかし3数の相加相乗平均の関係は「一応は」高校数学範囲外ですよね？

補足

申し訳ありません。「お礼」の欄に書いた式が間違っていました。
正しくは

2b + 2/(a+1) + (2a+2)/(b+2)
＝2(b-2) + 2/(a+1) + 2(a+1)/(b+2) - 4
≧3×8^(1/3) - 4＝2

です。