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sin((n/3+1/n)π)の上極限と下極限ってどうやって求めるので
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a[n] = sin((n/3+1/n)π) の 6 項おきの部分列は、n → ∞ に際して、 n を 6 で割った余りが 0 のとき、a[n] = sin(0 + π/n) → sin(0) = 0、 n を 6 で割った余りが 1 のとき、a[n] = sin((1/3)π + π/n) → sin((1/3)π) = (√3)/2、 n を 6 で割った余りが 2 のとき、a[n] = sin((2/3)π + π/n) → sin((2/3)π) = (√3)/2、 n を 6 で割った余りが 3 のとき、a[n] = sin(π + π/n) → sin(π) = 0、 n を 6 で割った余りが 4 のとき、a[n] = sin((4/3)π + π/n) → sin((4/3)π) = -(√3)/2、 n を 6 で割った余りが 5 のとき、a[n] = sin((5/3)π + π/n) → sin((5/3)π) = -(√3)/2 と、部分列ごとに収束する。 よって、a[k] の k≧n における上限、下限は、n の値によらず、 sup{k≧n} a[k] = (√3)/2、 inf{k≧n} a[k] = -(√3)/2 である。 したがって、 上極限 limsup{n→∞} a[n] = lim{n→∞} sup{k≧n} a[n] = (√3)/2、 下極限 liminf{n→∞} a[n] = lim{n→∞} inf{k≧n} a[n] = -(√3)/2。
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- nag0720
- ベストアンサー率58% (1093/1860)
nは1,2,3,・・・・でしょうか? n=15くらいまで計算すれば分かるのでは。
- naniwacchi
- ベストアンサー率47% (942/1970)
こんばんわ。 n→∞とすると、1/n→ 0となるので sin((n/3+ 1/n)π)≒ sin(nπ/3) となりますね。(いい記号が思いつかなかったので、≒を使っています。) 当然、この数列を収束しません。 sinの形ですので、「振れ幅」の上界と下界が、それぞれ上極限と下極限になりますね。
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