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Q:2x^3-3(a+1)x^2+6ax=0が異なる3つの実数解を持つ
noname#112109の回答
f(x)=2x^3-3(a+1)x^2+6axとおくと,f'(x)=6x^2-6(a+1)x+6a f(x)が異なる3つの実数解をもつには,まずf'(x)の判別式D>0である必要がある。 したがってD/4={-3(a+1)}^2-6・6a=9(a^2+2a+1)-36a=9a^2-18a+9>0 a^2-2a+1=(a-1)^2>0 a≠1……(1) また極値ではf'(x)=0となるので,6x^2-6(a+1)x+6a=0 x^2-(a+1)x+a=(x-a)(x-1)=0 x=a,1 f(a)=2a^3-3(a+1)a^2+6a^2=-a^3+3a^2=-a^2(a-3) f(1)=2-3(a+1)+6a=3a-1 f(x)が異なる3つの実数解をもつには,極大値×極小値<0でなければならないので, -a^2(a-3)(3a-1)<0 a<0,0<a<1/3,3<a……(2) 求める範囲は(1),(2)の共通部分なので,a<0,0<a<1/3,3<a……(答)
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