拡散方程式について教えてください

質問

病気の研究をしています。今、もととなる病変の周辺に拡散を思われる浸潤病巣があり、その距離（顕微鏡で）と広がる時間を調査しました。
3次元的な拡散現象ではないかとかんがえておりますが、拡散方程式を応用したいと考えております。病巣の拡散する速度や予測式が
作れれば、この後の診療に大きく役立つのではないかと思っております。数学的な知識に乏しいので、もしよろしければ応用の仕方や
拡散現象であるという証明方法などアドバイスいただけないでしょうか？どうぞよろしくお願いいたします。

回答No.1

ere_Elba · ベストアンサー

同一組織で構成されている人体の部分を考えます。
その組織の単位体積において病巣の占める体積密度をρとします。
先ず一次元で考え、後で三次元に拡大します。

病巣が拡散で拡がるとします。
病巣源から　x-Δx～x　だけ離れた部位の
組織における病巣密度は、ρ(x-Δx)～ρ(x)、つまり、
ρ(x)-{dρ(x)/dx}Δx～ρ(x)　で、
x　の位置における　x方向に垂直な単位面積を通して
病巣の拡がる速さは、x-Δx　と、x　の部位における
病巣密度の差に比例するので、
D・{dρ(x)/dx}Δx/Δx=D・dρ(x)/dx
Dは拡散係数です 。

その隣の組織、x～x+Δx　では
dρ(x+Δx)/dx　に比例する速さで病巣が拡がります。
従って、x　の部分へは、D・dρ(x)/dx　の速さで病巣が拡がり、
x+Δx　の部分からは、D・dρ(x+Δx)/dx　の速さで病巣が
拡がることになります。

結局、x～x+dx　の部位は、病巣密度が
{D・dρ(x+Δx)/dx}-{D・dρ(x)/dx}、つまり、
D・(d/dx)[ρ(x)+{dρ(x)/dx}・Δx]-D・{dρ(x)/dx}
=D・{d^2ρ(x)/dx^2}・Δx
だけ増加する事になります。単位体積では
D・{d^2ρ(x)/dx^2}・Δx/(1・Δx)=D・d^2ρ(x)/dx^2
です。

これが拡散による病巣密度の増加です。
この病巣の増加を時間割合で表わすなら、偏微分記号を用い
D・∂^2ρ(x,t)/∂x^2=∂ρ(x,t)/∂t　となります。
ここでは時間変化を考えて、ρ(x,t)としています。

これを三次元に拡大すると
D・{∂^2ρ(x,y,z,t)/∂x^2+∂^2ρ(x,y,z,t)/∂y^2+∂^2ρ(x,y,z,t)/∂z^2}
=∂ρ(x,y,z,t)/∂t
ベクトル記号を用いると、極座標、円筒座標であっても
D・∇^2ρ(x,y,z,t)=∂ρ(x,y,z,t)/∂t
と簡単に表わせます。

次に考えるべきことは、境界条件です。
組織は無限の大きさではないので、限界の大きさにおいてどうなるか、
病巣（今の場合は病巣密度）の広がる速さが、源において、あるいは
組織の限界においてどうなるか、などを現実に合うように定めるのです。

お礼

丁寧なご回答ありがとうございます。子宮平滑筋に発症する子宮腺筋症病変について研究しています。子宮平滑筋の厚さは25ｍｍ程度で、病巣源の病巣密度は34.6 glands/cm2でした。1.8センチ離れると18.3glands/cm2になり、ここまでの期間は約144カ月でした。現在の外科学では病巣のみを摘出することは困難で子宮ごと切除することが一般的ですが、この広がりが拡散現象であれば、初潮をスタートとして病巣を切除する範囲を絞ることができるのではないかと考えております。拡散係数は9.056（glands/cm2/cm)としてよいのでしょうか？実際治療前に判明する要素は初潮からの時間です。これらの情報をこの式のどこにどのようにあてはめてよいのか、教えていただけると助かります。
我々にはこのような緻密な知識がなく本当に助かりました。本当にありがとうございました。