数1Aについて

質問

数1Aについて

2次関数f(x),g(x)および実数kが以下の1，2，3の条件をすべて満たしているとする

１　f(x)はx=kで最大値をとる
２　f(k)＝13、f(-k)=-23、g(k)=49、g(-k)=7
３　f(x)+g(x)=2x^2+13x+5

このとき、kの値とf(x),g(x)を求めよ

放物線C：y=x^2+px+qは点(1,9)を通り、直線x=aを軸とする。ただし、p,qは定数とする。
１　p,qをaの式で表せ
２　Cがx軸より上方にあるようなaの値の範囲を求めよ
３　Cがx軸から切り取る線分の長さが8となる時、aの値を求めよ
４　Cがx>3でx軸と異なる2点で交わるようなaの値の範囲を求めよ

自分で考えてみましたがわかりませんでした・・・。解説よろしくお願いしますｍ（＿＿）ｍ

回答No.2

aquatarku5

問2　4　補足への回答です。

放物線Cは、x^2の係数が正なので、下に凸の形状となります。

「x>3でx軸と異なる2点で交わる」ことから、
「2点の内、小さい方の（実数）解よりも3が小さい」となり、これは即ち
　「異なる２（実数）解をもつ」・・・(1)
　　かつ
　「（小さい方の解よりも小さい）3をxに代入すると、値>0」・・・(2)
　　かつ
　「軸x=a>3」・・・(3)
　となります。

　(2)について、x=3の時に値<0だと、異なる２解の間にx=3が存在することに
　なります。値=0だと、異なる２解のいずれかがx=3になります。そのいずれ
　でもないので、値>0となります。
　但し、(2)だけだと、「（大きい方の解よりも大きい）3をxに代入して値>0」
　の場合も含んでしまうため、(3)も併せて考える必要があります。

放物線の形状（x軸との位置関係を含む）を図に描いてみるとピンとくると思います。

如何でしょうか？

回答No.1

aquatarku5

問１
条件2,3より、
　f(k)+g(k) =2k^2+13k+5=13+49=62
f(-k)+g(-k)=2k^2-13k+5=-23+7=16
　（上の式から下の式を引いて）これよりk=3

　条件1より、f(x)=a(x-k)^2+b　（a<0)とかける。
　条件２より、f(k)=b=13、f(-k)=4ak^2+b=-23
　以上から、a=-1,b=13

　したがって、k=3,f(x)=-(x-3)^2+13=-x^2+6x+4,g(x)=3x^2+7x+1

問２
1 y=x^2+px+q=(x+p/2)^2+(q-p^2/4)　なので、軸はx=-p/2
　9=1+p+q
　以上から、p=-2a、q=8+2a

2 題意より、q-p^2/4>0　したがって、8+2a-a^2=-(a-4)(a+2)>0
　以上から、-2<a<4

3 y=x^2+px+q=x^2-2ax+(2a+8)=0を解くと、x=a±√(a^2-2a-8)
　題意より、2√(a^2-2a-8)=8 即ち、a^2-2a-8=16
　これを解いて、a=6,-4

4 題意より、
　・x^2+px+q=0が異なる２解をもつので、2より、a<-2, a>4
　・x=3のとき値>0となるので、9-6a+2a+8=17-4a>0　即ちa<17/4
　・軸x=a >3
　のすべてを満たす。
　したがって、4<a<17/4

補足

回答ありがとうございます。
わかりやすかったのですが、問2の４だけいまいちよくわかりません・・。
なぜx=3のとき値>0になるのでしょうか？？