負性インピーダンス回路の安定条件について

質問

電気回路のことについて困っています．

NIC(Negative Impedance Circuit)の安定条件についてです．
負性容量を作りたいと考えてこの回路を使いました．

オペアンプの安定条件は
Vin+ < Vin-
であり，図上側のようにコンデンサと並列に入れた場合
Vin- = Vout*R1/(R1+R2), Vin+ = Vout*(1/jwCs)/(1/jwCs+1/jwC0)
ですので，整理すると
C0*R2/R1 < Cs
となります．
Ctotal = Cs - C0*R2/R1（条件より 0 < Ctotal < Cs）
と適当なコイルとでLC共振回路を作り動作確認をしたところ，条件内できちんと動作しました．

ところが図下側の回路の場合について同様に安定条件を求めると
C0*R2/R1 < Cs*[ 1-(L/Cs)/{R^2+(wL)^2} + j(R/wCs)/{R^2+(wL)^2} ]
で，左辺が実数，右辺が複素数となり常に成り立たないようにおもうのですが，動作確認をしたところ時折正常に動作しました．

正常に動作する範囲が図上側の回路が正常に動作した範囲よりも狭かったのでやはり安定条件が変わっていると思うのですが，安定条件を考えると常に動作しないはずなのになぁ．．．と二重に（？）困っています．

門外漢なので，とんだ勘違いをしているかもしれませんが，もしよろしければご教授お願いします．

回答No.9

inara · ベストアンサー

ジャイレータのシミュレーション結果を添付します。Z4 のところを単純にコンデンサに置き換えた回路だと、DC利得が無限大になってしまい、オペアンプの出力が飽和してしまいます。実際には、添付図のように、C4 と並列に抵抗（添付図の R4 ）を入れないとちゃんと動作しないと思います。添付図の波形は、ジャイレータに1Hz・±1Vの信号を入力したときのオペアンプの出力波形ですが、R5 が8kΩのとき、R4 < 5MΩとする必要があるようです。R5 の値によって R4 の上限値が変わり、R4 < 500*R5 くらいになるようです。

お礼

お礼が遅くなってしまってすみません．
わざわざ計算していただいて本当にありがとうございます．
ただ，そのGIC回路自体は動作していますので，
やはり最初の質問の通りNICの安定条件が崩れているように思います．
機械系を電機系に落とし込んでモデル化していましたので
その際に無視した特性が原因と今のところ解釈しています．

回答No.8

inara

＞R1=50k,R2=10k,R3=10k,C4=1uF,R5=約8kです．
その値でシミュレーションしてみます。平日は仕事で時間が取れないので少々お待ち下さい。

お礼

ありがとうございます．
よろしくおねがいします．

回答No.7

inara

オペアンプを2個使う回路というのは、ここ（http://homepage2.nifty.com/y-daisan/html/B61222.html）の【ジャイレータ】でしょうか。この回路で Z4 をコンデンサにして他を抵抗にしているのでしょうか。コンデンサと値抵抗の値を教えてください。

お礼

早速の回答ありがとうございます．

補足

返答が遅くなりすみません．

まさに，そうです．
このページの
「そこで、この回路を書き直したA.Antoniouさんのこの回路が使われます。」
のくだりの次に出てくる回路です．

R1=50k,R2=10k,R3=10k,C4=1uF,R5=約8kです．
お願いします．

回答No.6

inara

inara&inara1です。
平日は仕事で時間が取れないので少々お待ちください。

お礼

ありがとうございます．
よろしくお願いします．

回答No.5

inara

GICで作ったインダクタは添付図のようなものでしょうか。この回路だとインダクタンス L を非常に大きくできますが、直列抵抗 R も結構大きくなると思います。添付図のR1 と R2 と C の値はどれくらいでしょうか。

お礼

オペアンプはNJM072Dをつかってます．

補足

GICはオペアンプを２個使うやつで作りました．
例えばこんなんです．↓
http://homepage2.nifty.com/y-daisan/html/B61222.html
Rdとしているのはそこにはまた可変抵抗を入れています．
（10kΩ）
その下にGICで500Hのインダクタを作っています．

圧電素子には違いないのですが，この回路への入力源（？）が
圧電素子のCと別のコイルなので，その圧電素子の特性が
悪さをしているかもしれないと思っています．

因みに圧電素子のCは50nF，コイルは43kHです．
（正確には機械要素を等価なコイルで考えた場合の相等するインダクタです．）

回答No.4

inara

平日は仕事なので頻繁にお答えできません。
LCRは圧電素子の等価回路でしたか。素子の値が分かったので、帰還率や過渡応答を計算してみます。回路シミュレータもあるのでどういう波形になるか調べてみます。オペアンプはどういう型番のものをお使いですか？オペアンプの影響もあるかもしれないので。

お礼

早速の回答ありがとうございます．
オペアンプはNJM072Dをつかってます．

回答No.3

inara1

画像を添付し忘れましたので以下に書きます。
＞下の回路で実験を行った時にはR>0でも正常に動作しない諸元が存在しました
これまでは、オペアンプが理想的な場合で考えましたが、オペアンプの増幅率の大きさと位相には周波数依存があります。増幅率 A（ω）を複素数で表わすと
　　　A0/{ 1 + j*√( A0^2 - 1 )*ω/ωmax }
となります。A0 は直流（ω=0）での増幅率、ωmax は A = 1 となる角周波数です（ωmax以上の周波数では増幅器にならない）。このようなオペアンプを使ったとき、増幅回路の部分の利得は
　　　A = 1/[ R1/( R1 + R2 ) + { 1 + j*√( A0^2 - 1 )*ω/ωmax }/A0 ]
となります。A0 → ∞ としたのが理想オペアンプです（このとき A → 1 + R2/R1）。

帰還率を
　　　β = a + j*b
としたとき、全体の利得は
　　　A*β = ( a + j*b )/[ R1/( R1 + R2 ) + { 1 + j*√( A0^2 - 1 )*ω/ωmax }/A0 ]
になりますが、この虚部が 0 で、なおかつ A*β の大きさが1以上なら不安定になります。上の式(b)は「βの虚部が0となること」となっていますが、正確には「A*βの虚部が0となること」です（A が実数の場合が多いため）。R > 0 のとき、b > 0 ですが、その場合でも、a の値によっては A*βの虚部が0で、なおかつA*βの大きさが1以上になる場合があると思います。数式処理ソフトでは解があることは分かりましたが、Co、Cs、R1、R2、L の値が分からないと、どういう R のときにそうなるか具体的な数値は出せません。Co、Cs、R1、R2、L の値は分かりますか？A0 は10^5 くらい、ωmax は 6×10^6 (rad/s) くらいの値になります。

お礼

詳細にわたり説明していただいてありがとうございます。

内容については、追い切れていないのでまた改めて質問をさせていただくかもしれません。

＞Co、Cs、R1、R2、L の値は分かりますか？
Co=50 nF ,Cs=470 nF,
R1=100 kΩ,R2=0~10 kΩ（可変）,L=400~1000 H（GICで作成、可変）
です。

実は、この回路への電圧源は機械的（圧電素子）なのですが、その機械的な特性が回路に悪さしている可能性があるかもしれないと思い始めています。（意図していない高周波が乗っているなど）

回答No.2

inara1

＞あらゆる瞬間にin+端子にかかる電圧よりもin-にかかる電圧の方が高い」ことが安定の条件
混乱させるようで申し訳ありませんが、最終的に安定な状態というのは以下の3つあります（電源を入れた瞬間の状態を除きます）。
　　　（1）　いつも V+ < V-
　　　（2）　いつも V+ > V-
　　　（3）　いつも V+ = V-　（現実には入力オフセット電圧の差が残る）
（1）の場合、いつも V+ < V- だったら、オペアンプの出力電圧は - 電源側に振り切れたままです。（2）では、出力電圧は + 電源側に振り切れたままです。（3）は、帰還回路によってうまくバランスした状態で、オペアンプの出力電圧は、+ 電源と - 電源の間にあり、その電圧は安定しています。（1）と（2）は入力信号を入れた後のコンパレータ回路の状態に相当します。(1)～(3)が安定だったら全て安定じゃないかと思われるかもしれませんが、「いつも」というところがミソです。上の3つの状態の他に、（4）番目の状態があります。
　　　（4）　V- と V+ の電圧差が、大きくなったり小さくなったりを繰り返す（一定周期とは限らない）
これが不安定な状態です。tskskgtさんが考える（1）の状態も安定状態の１つですが、瞬間的に（2）や（3）の状態になったからといって、「最終的に」不安定では必ずしもないということです（電源投入直後は(1)～(3)の全ての場合が起こりえます）。最終的に（4）の状態にならなければいいのです。つまり、（4）の状態になる条件を考えて、その条件以外の範囲であれば安定ということになります。

＞複素数（位相差）ができている時点でアウトだと解釈した
アウトというのは安定じゃないという意味ですね。上にも書いたように、どういう場合に（4）の状態になるかを考えて、その範囲外かどうかで判断するといいと思います。ご質問の回路は、ここ（http://www.d.dendai.ac.jp/lab_site/dlab/CR.pdf）の4ページの図7.3と同じになります。増幅回路の部分の利得は
　　　A = 1 + R2/R1
で、帰還回路の部分がコンデンサなどがついた部分です。帰還回路の帰還率βは、質問にある最初の回路では
　　　β= Co/( Cs + Co )
２番目の回路では
　　　β= a + j*b
です（そのまま書くと長くなるので a と b で簡略化しました）。この回路が発振する（不安定になる）条件の1つは、5ページ目の冒頭にあるように
　　　A*β≧1 --- (a)
です。2つ目の条件は8ページの真ん中あたりに書いてある
　　　βの虚部が0となること ---- (b)
です。この２つの条件を満たさないと（4）の状態になりません。逆に言うと、（4）の状態にならないための条件は
　　　　　　A*β＜1 または βの虚部≠0
です。A*β≧1 であっても βの虚部 ≠ 0 なら（4）の状態になりません。

tskskgtさんはあらゆる瞬間を考えていますが、瞬間的にどのような状態になったとしても（ V+ > V- になっても ）、最終的に不安定になるのは、式(a) と式(b) が同時に成り立つ場合だけです（それが成り立つのは特定の周波数だったりします）。それ以外の場合は、 瞬間的に V+ > V- になっても、だんだん差が落ち着いてきて、最終的には上の(1)～(3)のいずれかの状態になります。

＞下の回路で実験を行った時にはR>0でも正常に動作しない諸元が存在しました
文字数制限のために、この返答は添付ファイルに書きました。

お礼

大変丁寧な回答ありがとうございます．
内容を確認していきたいと思います．

回答No.1

inara1

回路が安定というのは、発振状態になる条件を満たさないということです。発振状態になる条件というのは、振幅条件と位相条件の２つあって、それが同時に等しくなるということです。２つの条件のうち１つしか満たさなければ安定です。Vin+ < Vin- というのは、Vin+ と Vin- がともに実数の場合（位相条件を満たしている場合）の安定条件です。Vin+ と Vin- の一方が複素数なら、位相条件を満たさないので安定です。

下側の回路では、 R > 0 ならば、Vin+ と Vin- の位相が一致しないので発振しません。R = 0 の場合でも、Cs > (R2/R1)*C0 ならば、振幅条件を満たさないので発振しません。

オペアンプの出力を Vo としたとき、上側の回路でも下側の回路でも
　　　Vin-/Vo = R1/(R1+R2) --- (1)
ですが、非反転入力のほうは、下側の回路では
　　　Vin+/Vo = A*[ ω*{ ω^2*( C0 + Cs )*L^2 + ( C0 + Cs )*R^2 - L } + j*R ] --- (2)
　　　　A = ω*C0/[ { 1 - ω^2*( C0 + Cs )*L }^2 + { ω*( C0 Cs )*R }^2 ]
となります。発振状態になるのは、式(1)と式(2)が実部も虚部も同時に等しくなる場合です。式(1)は実数で、A も実数ですから、発振条件の１つ（位相条件）は
　　　ω*{ ω^2*( C0 + Cs )*L^2 + ( C0 + Cs )*R^2 - L } + j*R
が実数となることです。したがって、R ≠ 0 ならば実数にならないので発振しません。

R = 0 の場合、式(2)は
　　　Vin+/Vo = ω^2*L*C0/{ ω^2*( C0 + Cs )*L - 1 }
となりますから、発振条件は
　　　Vin+/Vo = Vin-/Vo
つまり
　　　ω^2*L*C0/{ ω^2*( C0 + Cs )*L - 1 } = R1/(R1+R2)
です。これを書き換えると
　　　ω^2 = R2/L/( R2*Co - R1*Cs ) --- (3)
になります。ω^2 は正の数なので、発振条件を満たさないようにするには R2*Co - R1*Cs が負になるようにする、つまり
　　　Cs > (R2/R1)*C0
とすればいいことになります。ただし、Cs ＜(R2/R1)*C0 であっても、式(3)の ω が、オペアンプがアンプとして動作する周波数を超えていれば発振に至りません。

お礼

大変丁寧に答えていただきありがとうございます。
式を追って確認させていただきました。

回答の中身で分からない点があるのでよろしければまたよろしくお願いします。
＞発振状態になる条件というのは、振幅条件と位相条件の２つあって、
＞それが同時に等しくなるということです。
＞２つの条件のうち１つしか満たさなければ安定です。
＞Vin+ < Vin- というのは、Vin+ と Vin- がともに実数の場合
＞（位相条件を満たしている場合）の安定条件です。
についてです。
私は「あらゆる瞬間にin+端子にかかる電圧よりもin-にかかる電圧の方が高い」ことが安定の条件だと思っていたので、最初の質問では複素数（位相差）ができている時点でアウトだと解釈したのですが、その理解が間違っているということでよろしいでしょうか。それとも不安定≠発振であるがためにずれた議論をしているのでしょうか。

また、下の回路で実験を行った時にはR>0でも正常に動作しない諸元が存在しました。なので、この安定条件以外にオペアンプの使用に関して留意しなくてはならないことをもしご存じでしたら教えていただけるとありがたいです。

以上です。よろしくお願いします。