電気回路の位相差を求める問題です。

質問

○―――|　|―――●―――|　|―|
↑　　　　　C1　　　　　|　　　　　C2　　|
Vin　　　　　　　　R1　□　　　　　R2　□　↑Vout
↓　　　　　　　　　　　　|　　　　　　　　　|
○―――――――●――――――|

CR直列回路やCR並列回路の位相差はベクトル図を用いて理解できたのですが、上のような回路のVinとVoutの位相差の求め方が分かりません。
ベクトル図を描こうにも、Vc2とVr2を書いたあたりから、R1とC1をどのようにしたら良いのか分からなくなってしまいます。
VinとVoutの位相差はどのようにして求めたらよいのでしょうか？
よろしくお願いします！

回答No.2

info22 · ベストアンサー

単にインピーダンス比から伝達関数 (Vout/Vin)を求め、位相差を出せばいいだけ。

Vout/Vin
=R2*jwC2/(1+iwC2R2)
*(R1//(R2+(1/jwC2)))
/((1/jwC1)+(R1//(R2+1/jwC2)))
=R2*jwC2/(1+iwC2R2)
*R1(1+jwC2R2)/(1+jwC2(R1+R2))
/((1/jwC1)+R1(1+jwC2R2)/(1+jwC2(R1+R2)))
=R2*jwC2/(1+iwC2R2)
*jwC1R1(1+jwC2R2)/(1+jwC2(R1+R2))
/(1+jwC1R1(1+jwC2R2)/(1+jwC2(R1+R2)))
=R2*jwC2/(1+iwC2R2)
*jwC1R1(1+jwC2R2)
/(1+jwC2(R1+R2)+jwC1R1(1+jwC2R2))
=R2*jwC2*jwC1R1
/(1-w^2C1C2R1R2+jw(C1R1+C2R1+C2R2))
=-R2*w^2C1C2R1/(1-w^2C1C2R1R2+jw(C1R1+C2R1+C2R2)))

従って位相角差θ
θ=π-arctan(w(C1R1+C2R1+C2R2)/(1-w^2C1C2R1R2))

計算が合っているかは保証の限りではありませんので
自分でフォローしてチェックしてみてください。

お礼

なるほど。インピーダンス比から求められるんですね。
ありがとうございます！

回答No.1

_takuan_

計算がエグいのでやり方だけ載せときます。
まず、定石どおり閉路解析法を用います。F行列やテブナン・ノートンの法則を使う方法もありますが、ややこしいので止めときます。
C1を流れる電流をI1、C2を流れる電流をI2(いずれも右向き)とすれば、
　・Vin　=　I1/jωC1　+　(I1-I2)R1
　・0　=　(I2-I1)R1　+　I2/jωC2　+　I2R2
となります。この二つを連立してI2を求めます。求めるべきVoutはR2にかかる電圧なので、計算の結果、次のように求まったとします。
　・Vout　=　I2R2　=　(P+jQ)/(R+jS)　　(P,Q,R,S　は計算後の実数)
複素数は、次のように大きさ成分と角度成分に分離することが出来ます。(複素平面で考えれば納得できるはずです。)
　・P+jQ　=　√(P^2+Q^2)　*　exp{j*　arctan(　Q/P　)}
これを先ほどのVoutに適用すると、
　・Vout　=　√{　(P^2+Q^2)/(R^2+S^2)　}
　　　　　　　　 *　exp[　j*{　arctan(Q/P)　-　arctan(S/R)　}　]
となります。位相差を求めるのが目的のようですので、前半の大きさ成分は無視して、
　・(位相差)Φ　=　arctan(Q/P) - arctan(S/R)
更に、次の関係
　・arctan(A)　+　arctan(B)　=　arctan{　(A+B)/(1-AB)　}　　(おなじみtanの公式)
を用いれば、
　・Φ　=　arctan{　(PQ-SP)/(PR+QS)　}

お礼

詳しくありがとうございます！