三角比の相互関係

質問

sin^3θ+cos^3θ=-1のときsinθ+cosθの値を求めよという問題なんですが、解説をみると「sinθ+cosθ=√2sin(θ+(π/4))から-√2≦t≦√2に注意。」と書いてありました。これってどうやって導いたのですか？計算過程を解説していただけるとありがたいです。
(sinθ=a,cosθ=b,sinθ+cosθ=t)

回答No.5

5235 · ベストアンサー

範囲について、

(a+b)^2=a^2+2ab+b^2
(a+b)^2=1+2ab
(a+b)^2=1+sin(θ+θ）
(a+b)^2=1+sin2θ
(a+b)=±√1+sin2θ

-1(最小)≦sin2θ≦1(最大)より

-√2(最小)≦(a+b)≦+√2(最大)、これでも求まります。

回答No.4

5235

(a＋b)^3=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3
t^3=-1+3ab(a+b)
t^3=-1+3abt－(1)

(a+b)^2=a^2+2ab+b^2
t^2=1+2ab
ab=(t^2-1)/2-(2)

(1)を(2)に代入すると

t^3=-1+3t(t^2-1)/2
t^3-3t-2=0

t=2,-1 条件よりt=-1 これだと思うけど違うかな？。

回答No.3

mister_moonlight

＞0≦θ＜2πのときx=√2sin(θ+(π/4))より-√2≦x≦√2の部分をもっと詳しく解説していただけないでしょうか？

0≦θ＜2πから、π/4≦θ＋π/4＜9π/4　だから　-1≦sin(θ+(π/4))≦1　（これは単位円を書いてみると判るだろう）→　-√2≦√2*sin(θ+(π/4))≦√2

回答No.2

mister_moonlight

＞これってどうやって導いたのですか？

これは,君自身が書いてるように、sinθ＝a、cosθ＝bと置き換えると判りやすい。

つまり、a＾2＋b＾2＝1、a＾3＋b＾3＝-1　‥‥(1)　の時、a＋bの値を求めよ、という問題に転化される。
従って、見るとすぐわかるように、aとbの対称な形になっているから、a＋b＝x、ab＝y と置いてやると、(1)は　x＾2-2y＝1、x＾3-xy＝－1の時のxの値を求める問題になる。
yを消去するとxの3次方程式になるが、簡単に解ける。
但し、0≦θ＜2πと考えて良いから、x＝√2sin(θ+(π/4))より　-√2≦x≦√2。

補足

続けて質問になってしまうのですが、

0≦θ＜2πのときx=√2sin(θ+(π/4))より-√2≦x≦√2
の部分をもっと詳しく解説していただけないでしょうか？

どうかよろしくお願いします...

回答No.1

info22_

三角関数の合成公式を使っているだけです。どの教科書でも載っていると思いますし授業でもやったはずです。
以下の参照URLに載っていますんでよく見てマスターして下さい。
http://w3e.kanazawa-it.ac.jp/math/category/sankakukansuu/kahouteiri/henkan.cgi?target=/math/category/sankakukansuu/kahouteiri/gouseikousiki.html

合成公式で１つのsinまたはcosにすれば、その係数に±をつけた範囲が関数の値域（とりうる範囲）となります。