【初歩】コブダグタス生産関数の式の展開

質問

コブダグタス生産関数：V=A・K^α・K^β　　…を展開すると、
log(A)=log(V/K)-αlog(L/K)
になる計算過程を(できるだけ冗長に)示していただけませんか。
高校1年くらいの数学だと思いますが、完全に忘れてしまいました。
よろしくお願い致します。

回答No.3

noname#185706 · ベストアンサー

α + β = 1
より
β = 1 - α 。
これを＃２の式
A = V・K^(-α)・L^(-β)
に代入すると
A = V・K^(-α)・L^(α-1)
　= V・K^(-α)・L^α・L^(-1)
　= V・K^(-α)・{1/L^(-α)}・(1/L)
　= (V/L)・{K^(-α)/L^(-α)}
　= (V/L)・(K/L)^(-α) 。
両辺の対数をとると
log(A) = log(V/L) + log{(K/L)^(-α)}
　　　　= log(V/L) + (-α)・log(K/L)
　　　　= log(V/L) - α・log(K/L) 。
この式は、質問文の式

>log(A)=log(V/K)-αlog(L/K)

で K と L を入れ替えたものと同じです。

なお、先の式は
log(A) = log(V/K) - β・log(L/K)
とも変形できます（詳細は略）。これは質問文の式で α を β に替えたものと同じです。このことは、先の式で K と L を入れ替えたことに対応しています。

お礼

-okさん、たびたびのご回答ありがとうございました。
すごく噛み砕いてご教示いただけて、よ～く理解できました。

白い紙に式の展開を再現しろといわれたら微妙ですが・・・

何度も読み返して理解を深めます。

ともかく、大変ありがとうございました。

回答No.2

noname#185706

>V=A・K^α・L^β

両辺に K^(-α)・L^(-β) を乗じると、左辺は
V・K^(-α)・L^(-β)
で、右辺は
A・K^α・K^(-α)・L^β・L^(-β)
= A・K^(α-α)・L^(β-β)
= A・K^0・L^0
= A・1・1
= A 。
ゆえに
A = V・K^(-α)・L^(-β) 。
両辺の対数をとると
log(A) = log(V) + log{K^(-α)} + log{L^(-β)}
　　　　= log(V) + (-α)・log(K) + (-β)・log(L)
　　　　= log(V) - α・log(K) -β・log(L) 。
変形はここまでです。質問文にある式

>log(A)=log(V/K)-αlog(L/K)

は導けません。特に、元の式に含まれているβをなくす手立てがありません。何か別の条件が存在するか、示すべき式が間違っているのではないでしょうか？

補足

-okさん、たびたびのご回答大変ありがとうございます。

詳細にご教示いただき、とても参考になります。

大事なことを書き忘れていましたが、コブ＝ダグラス型生産関数はα＋β＝１が
仮定されております、これで導けますでしょうか。

回答No.1

noname#185706

>コブダグタス生産関数：V=A・K^α・K^β

名前も式も間違っていると思います。

補足

失礼しました。

コブダグタス生産関数　→コブ＝ダグラス生産関数のタイプミスです。

V=A・K^α・K^β　→V=A・K^α・L^β　です。