なぜ三角関数は展開して計算できないの？

質問

なぜ数学の三角関数は加法定理という複雑な公式が必要になったのでしょうか？展開してそのまま計算できたら、便利ではなかったのでしょうか？

回答No.3

kiha181-tubasa · ベストアンサー

学齢が不明なので，（質問文に弧度法が使われているので）高校生３年生辺りを想定して解答します。

＞展開してそのまま計算できたら……
　ここで言っている「展開」とは
a(b+c)=ab+ac
のような積の「分配法則」の事ですね。
これはaとb+cの積についての法則に過ぎません。

三角関数sinθは，その名の通りθを変数とする「関数」です。
xの関数をf(x)としたとき
f(a+b)=f(a)+f(b)　……①
であれば簡単なのになあ……という事ですね。
(f(θ)=sinθであるとき，f(π/4+3π/2)=f(π/4)+f(3π/2)のように）

少し長くなりますが，次のように回答します。
（１）①を満たすような関数は確かに存在します。
例えば，f(x)=3xという関数では
f(a+b)=3(a+b)=3a+3b=f(a)+f(b)
ですから①を満たしています。
しかし同じような１次関数でも，f(x)=3x+1という関数では
f(a+b)=3(a+b)+1=3a+3b+1
f(a)+f(b)=3a+1+3b+1=3a+3b+2
となり，f(a+b)≠f(a)+f(b)なので①を満たしません。
ですから，「①を満たす関数は「特別な存在」」なのです。

（おまけ）：次の２つの条件を満たす関数を線形関数と言います。
f(a+b)=f(a)+f(b)　……①
f(ka)=kf(a)　……②

（２）三角関数f(θ)=sinθはこの「特別な」関数ではないのです。①はもちろん②も満たしていませんね。実際……
f(π/4+3π/2)=f(7π/4)=sin(7π/4)=-√2/2
f(π/4)+f(3π/2)=√2/2+(-1)=(√2-2)/2　（これは-√2/2と異なる値です）
f(2*π/4)=sin(π/2)=1
2f(π/4)=2*sin(π/4)=2*(√2/2)=√2
となって①②を満たしていませんね。
（※）満たさない例，成り立たない例が１つでもあれば，数学では「満たさない，成り立たない」となります。

　長くなりましたか，以上の説明で「簡単に展開」のような変形は出来ないことが「納得」いただけでしょうか。
（数学では「なるほど！！」と納得することが最も大切です）

回答No.2

tmppassenger

そんなことを言われても、

> 展開してそのまま計算できたら、便利ではなかったのでしょうか？
そんな「展開してそのまま計算できる」関数なんて限られる。

一般に、実数全体から実数全体への関数 f で加法的なもの（つまり、f(x+y) = f(x) + f(y) を満たすもの）は、どこか1点ででも連続なら、 f(x) = ax (aは何かの定数）の形のものしかない。（「連続」という言葉をならってないなら、ざっくりいうと「つながっている」）

つまり：
ざっくりいうと、どこか一つの点でもつながっている関数で、あなたの言う通り「展開してそのまま計算できる」関数は、原点を通る直線の形をしたものしかない。

逆に言うと、実数体から実数体への関数 f で加法的なもの（つまり、f(x+y) = f(x) + f(y) を満たすもの）であって、どこか一つの点で連続でないなら、すべての点で連続でない。そういった関数は大学数学でならう選択公理というものを仮定しないと存在が証明できない。

回答No.1

f272

> なぜ数学の三角関数は加法定理という複雑な公式が必要になったのでしょうか？

そういう性質の関数だから。

> 展開してそのまま計算できたら、便利ではなかったのでしょうか？

便利かどうかで，関数の性質が決まるわけではない。