背理法と対偶証明の違いについて

質問

背理法と対偶による証明は同じと私は考えています。しかし、インターネットを含み、世間では違うというのが定説かのようです。

　従って、違うとお考えの方に、その理屈と根拠を教えて頂きたいのです。

回答No.20

B-juggler

しょうがない、あなたのプライドの部分なので
これはやりたくは無かったけど。

＞●この文の「・・・」は式にすれば(A∧￢B)→￢A≡A⇒Bです。
この式、あっていますか？
私指摘したはずだよ。ド・モルガンが、途中で違う。
ここにこだわりすぎてる。ちゃんと書き直したのに。
謝り認めて、訂正したのに。

多分、姿勢の問題。私は数学に対して純粋なだけ。
間違えているのなら、素直に認め、検証しなおす。
あなたはこだわっちゃったんですよ。

私はそこで　（Ａ∧￢Ｂ）⇒φ　としました。
突然出した、(5)，(6)，(7)式ですよ。

これ検証してください。って、ちゃんと出してるのに、
しないのは誰？
したくないのは誰？

この式あってますか？検証してください。２回目ね。前回あなたは逃げたんですよ！
何回も書いてはいるから、チャンスはたくさんあったはずだけど。

＜Ｐｒｏｏｆ＞
命題（Ａ⇒Ｂ）　（≡￢Ψ）を考える。
その否定を取り、得られた帰結をφとする。
このとき、φは　ＡにもＢにも　関係のない　ものとする。
　＃φＲ（Ａ，Ｂ）≡　偽　（関係が発生しないのを数学的に書けばこうなる）
　＃Ｒ　もう少し大きく書きたいんだけど

￢（￢Ψ）⇒φ　≡　Ψ⇒φ　≡Ψ∧￢φ
　　　　　≡￢（￢Ψ∨φ）　≡Ψ∧￢φ　（ｘ）
　　　　　（≡（Ａ∧￢Ｂ）∧￢φ）　（ｘ）’

（ｘ）式に（Ａ⇒Ｂ）が入っていますか？
ド・モルガンの定理を間違えたのあなたですからね。
　＃その場で気が付かなかった私も悪いけど。
　＃だけどちゃんとヒントは出してるのに。
　＃それに今は、関係のないφを出しているわけですしね。

このとき、同時に、相反する帰結、矛盾する帰結　￢φ　も得られた。
　＃ここで矛盾しているとします。
Ψ　⇒　￢φ　≡・・・・≡Ψ∧φ　　（ｙ）
　　　　　　　　　（≡（Ａ∧￢Ｂ）∧φ）　（ｙ）’
（ｘ）（ｙ）式について、論理積を取る。｛（ｘ）∧（ｙ）｝

｛￢（￢Ψ）⇒φ｝∧｛￢（￢Ψ）　⇒　￢φ｝
≡（Ψ　∧　￢φ）∧（Ψ　∧　φ）
≡Ψ∧（￢φ∧φ）　≡　￢Ψ　（ｚ）

Ψについてある矛盾した帰結が得られたのであれば、Ψは　偽
これをもって背理法とする。　フィーネ（ｆｉｎｅ）
　　　　　　　　　　　　　　↑証明終わりの意味。
　　ｆｉｎｅ　と使うのは、特定の人たちだけです。
　　ある、定着しなかった教授の弟子たちです。
　　フリーの人間には、結構なじみがあるんだけどね。
　　　＃誰でも関係ないでしょうが・・　興味も無いでしょう？

お好みなら、（ｘ）’と（ｙ）’　を使って、展開どうぞ。

これはとっくに終わっていたんですよ。
あなたのプライドのため、ＮＯ．１７の時点で終わっていました。
検証してくださいと頼んだことを待っていました。

いつまでたっても、私の出した式に対して向き合ってくれないじゃないですか。
プライドを傷つけることになるから、こういうのは顔が見えないところではやりたくない。

議論でもない、講義でもない。

押し付けるつもりは毛頭ない。

ただ、「私の背理法を否定されるのに、ご自分の背理法を述べられない」ので、これ以上話す理由はありません。

そして、背理法と、対偶法の違いに対しての意見も無い。
これは理解されたものとしますよ。
明らかに違うと。
　＃あなたの背理法があっているのかどうか分からないから、
　＃これ以上言いようが無い。

どうしても式に納得がいかないのであれば、
質問の書き方を変えて、「（ｚ）式について」か、何かで
再質問されることをおすすめします。
多分記号論理は、哲学でもやるでしょうからね、その分野でもありますから、そちらでも出されることをおすすめします。

数学で出されるのなら、「論理学」と明記されたほうが良いでしょう。

「集合論理」って書いちゃダメですよ。
実例が山ほど出てきますよ。
純粋に式を考えるのであれば、「論理学」のほうがいいでしょうね。

不完全性定理を理解している人と、付記しておくと、
論理記号だらけのお好みの形になると思いますよ。
　＃私は、いやだけどね。

お礼

●●今日は忙しいのでとりあえず、下記の誤り部分だけ返信しておきます。

＞●この文の「・・・」は式にすれば(A∧￢B)→￢A≡A⇒Bです。
この式、あっていますか？
＞しょうがない、あなたのプライドの部分なので
これはやりたくは無かったけど。

●●この式あっていますよ!!ド・モルガンが怪しいですね。
----------------------------------------------------------------
＞私指摘したはずだよ。ド・モルガンが、途中で違う。
ここにこだわりすぎてる。ちゃんと書き直したのに。
謝り認めて、訂正したのに。

多分、姿勢の問題。私は数学に対して純粋なだけ。
間違えているのなら、素直に認め、検証しなおす。
あなたはこだわっちゃったんですよ。

私はそこで　（Ａ∧￢Ｂ）⇒φ　としました。
突然出した、(5)，(6)，(7)式ですよ。

これ検証してください。って、ちゃんと出してるのに、
しないのは誰？
したくないのは誰？

この式あってますか？検証してください。２回目ね。前回あなたは逃げたんですよ！
何回も書いてはいるから、チャンスはたくさんあったはずだけど。

＜Ｐｒｏｏｆ＞
命題（Ａ⇒Ｂ）　（≡￢Ψ）を考える。
その否定を取り、得られた帰結をφとする。
このとき、φは　ＡにもＢにも　関係のない　ものとする。
　＃φＲ（Ａ，Ｂ）≡　偽　（関係が発生しないのを数学的に書けばこうなる）
　＃Ｒ　もう少し大きく書きたいんだけど

￢（￢Ψ）⇒φ　≡　Ψ⇒φ≡Ψ∧￢φ●●【←ダメΨ⇒φ≡￢Ψ∨φ】
　　　　　≡￢（￢Ψ∨φ）　≡Ψ∧￢φ　（ｘ）
　　　　　（≡（Ａ∧￢Ｂ）∧￢φ）　（ｘ）’

（ｘ）式に（Ａ⇒Ｂ）が入っていますか？
-------------------------------------------------------------
●●以下の式の検討は、この初めの段階の誤りかあるからには、意味がなさそうです。後で、・・明日になるか知れませんが、その他の素数の無限集合の事なども含み返信します。

補足

遂に謎が解けました。妙な理屈と思い込みで長々と付き合っていただいたお陰です。

かつて秀才の端くれだった旧友も、話題の例の式に拘り、その前は別のトートロジー
￢(A⇒￢B)⇒(A⇒B)≡T(トートロジー)で、A⇒Bを背理法で証明するというものでした。
これは￢(A⇒￢B)⇒(B⇒A)≡Tも成立するので間違いなのですが、その誤りを認めずいつの間にか、今話題の式に移りました。

何れも論理的というよりは、自己の主張を無理に擁護する屁理屈でした。結局は潜在意識下に(精神医学も趣味の一つなので・・・)原因があると思えるようになりました。しかし、他人の誤りの真因は容易には解明困難なものです。それが貴方との議論過程で解明できました。有難うございました。　

【本論】・・・
背理法は命題(A⇒B)を否定して矛盾に至り、つまり￢(A⇒B)≡￢(￢A∨B)≡(A∧￢B)を仮定して矛盾に至り、元々のA⇒Bの正しさを証明するという事です。その矛盾が「何に対する矛盾か」を顕在化していないから、以後の理論が混乱し誤っているのです。

A⇒B≡A(∧K1∧K2∧・・∧Kn)⇒B　つまり A≡A∧K1∧K2∧・・∧Knなのです。
ここでのKiは暗黙の内に前提にされている、証明済みの定理、公理、定義です。

∴ ￢(A⇒B)≡￢［￢(A∧K1∧K2∧・・∧Kn)∨B］≡[(A∧K1∧K2∧・・∧Kn)∧￢B]
￢Bから演繹推論し￢A.￢K1.￢K2・・・.￢Knのいずれかの矛盾に至ります。
これ(証明済みの定理、公理、定義)以外に矛盾する相手はないのです。
∴　[￢B⇒(￢A∨￢K1∨￢K2∨・・∨￢Kn)]　≡[￢B⇒￢ (A∧K1∧K2∧・・∧Kn)]
従って対偶から、A(∧K1∧K2∧・・∧Kn)⇒Bとなり証明は終わります。
この式は、私の背理法に対する式として、再三このスレッドにも記載しています。ド・モルガン式で長いのが苦手では、少し込言っていますかも・・・
　念のため・・すべての命題論理は論理積か論理和と否定で実現できます!!
以上