背理法と対偶証明の違いについて

質問

背理法と対偶による証明は同じと私は考えています。しかし、インターネットを含み、世間では違うというのが定説かのようです。

　従って、違うとお考えの方に、その理屈と根拠を教えて頂きたいのです。

回答No.19

B-juggler

文学みたいに書かれているのはあなたですよ。

あなたは、問題に向き合っていない。解こうとしていないでしょう。

＞　帰謬法
どうでもいいことでしょう。

議論でしょう、ディベートでしょう？
同じ土俵に立ってないじゃない。
何故認めようとしない。
認めようとしないから議論じゃないと言っている。
だから言いようが無いっていっているのが分かりませんか。

わたしね、自分でいうのはおかしいけど、教えるのうまいっていわれるほうです。
何でだと思います？
どこが分からないかしっかり探るからです。
分からないことを補っていくんです。

あなたと話をしていても、何が分かっていないのか、何を知りたいのか、見えないんですよ。ごまかしてばかりで。
　＃ＮＥＴだから顔が見えないハンデはあるけど。
結局、証明しようとしないわけでしょう。

本当に知りたいのなら、聞こうとしてください。
されてない。だからみんな逃げるんです。

０元の例ですか？　今度は。
何をしたいのかが見えない。
～～～
異なる零元が２個あると仮定して、それを０と０#します。
０＋０#=０#=０#＋０=０で、その零元０と０#は同一になり証明されます。
乗法が許されるものなら単位元でも同様です。各種テキストで良く出ていますが、背理法で・・・と書いてあり、上記のように簡単な証明です。
　これは私見ではなく、共通したテキストの記述です。
～～～
これが何？　背理法に反していますか？
背理法そのものでしょう。

～～～
Ａ⇒Ｂが成立しているのです。しかし、この矛盾の相手がＡを有限と仮定したことか、つまり￢Ｂ⇒￢Ａでなのかは、『素数は無限集合である』とした文ではＡをどう定義するかで、微妙だろうと言うだけです。
　ちょっと微妙な例を以後に出しすぎましたかね。無限が含まれるとかなりややこしい事が絡みますよ。（一文字修正・言うたけ→言うだけ）
～～～
なぜ？　無限が絡むと、ややこしい？
だからダメだって言っているんです。
何の問題がそこにありますか。

もう一つ修正するべきなのか、わざとか分からないけど、
素数に対してどう定義するだの、素数全体の集合をどう定義するだの無いでしょう。そんなのは関係ないの。
素数全体の集合を有限と仮定すれば、
素数のＡは　有限の集合￢Ｂ　に入っている。　（Ａ∈￢Ｂ）
また前述の通り背理法で否定できるわけでしょう。

素数の集合の外にＡがあるんですか？
分かってないからそんなこといえるんでしょうね。
Ａ∧￢Ｂ　って、どういう意味です？
￢Ｂ　に反しているっていえるんですか。　￢Ｂは素数が有限。
じゃぁ、Ａは入れてもらえないんだ。　へぇ～～～。
明らかに違うでしょう。
何を持って、対偶と同じだと言えますか？

分かってないどころか分かろうともしてないじゃない。

「有限な素数全体の集合の外に、素数が存在する」これが矛盾以外の何？

～～～
『２直線とその交点以外で交わる１直線とでなす、一対の錯角が相等しいならば其の２直線は平行である』等と言うのが適当な例です。これを並行でないと仮定して背理法で証明します。この場合直線の公理に矛盾が出ます。この場合はA⇒B≡￢B⇒￢Aからではなく、A∧K1∧K2・・・∧Kn⇒BのKiの一つの直線の公理への矛盾から、
￢B⇒(￢A∨￢K1∨￢K2・・・∨￢Kn)≡￢B⇒￢(A∧K1∧K2・・・∧Kn)
として背理法で、形式は対偶として証明されます。これが私が背理法とは対偶で行うものだという説です。　
～～～
これもそうです。
（２直線とその交点以外で交わる１直線とでなす、一対の錯角が相等しい）∧￢（其の２直線は平行である）
これも直線の公理に反しますよ。平行線の公理と言ってもいいか。
　＃平行線の公理だと、また同論って言うんだろうな。
対偶法使う必要も無いじゃない。

元のテーマ式。
ちゃんと根拠も言っている。

『ある命題において、その命題を否定したことによって得られた帰結が、命題の否定に矛盾するものであれば、元の命題は真である』

立派に式の根拠になっている。
あいまいにしなきゃいいんだね。
((ψ→￢φ)∧(ψ→φ))→￢ψ　
これをもって、背理法の根拠としていい。
上記『』内による。
　＃何度も書いているけど、　φと￢φ　が同時に帰結する　
　＃これを矛盾意外になんと言いますか？

そして、この質問のタイトル、あなたの聞かれていることはこれでしょう？

「背理法と、対偶法は違う」

明らかに違うのは、分かったでしょう。

論理がどうの言う前に、学問に対する姿勢が違いすぎる。
そりゃみんな逃げるよ。
　＃ＮＥＴだからどうしても、面と向かって話できないから、
　＃どこまで分かっているのか理解できない。
　＃その上、書き方が、おちょくっているようにしか見えないんですよ
　＃妄信的に否定されますね。信じられるところは、肯定して。
　＃ご自身で書いていて、こういう認識ありますか？
　＃読んでいる私たちは、そう思っているんですよ。
　＃よくもまぁ、ここまで付き合ったもんです。

お礼

●No.10からの引用です。・・・　
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ところで、背理法によって、仮に、
2) (A∧￢B)→￢A
が証明されたとします。つまり、「 A が真であって、B の否定が真であるときに必ず A の否定が真となる 」ことが証明されたとします。
　 2) という合成命題は・・・・・
、2) という命題が常に真であることを証明したとします。
・・・・・・・
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●この文の「・・・」は式にすれば(A∧￢B)→￢A≡A⇒Bです。
　この引用は、今テーマになっていて逃げた方kabaokabaさんが、背理法の根拠として書いたものに対して、貴方が理由づけの説明中に出ています。
　テーマの式((ψ→￢φ)∧(ψ→φ))→￢ψ = ((A⇒￢B)∧(A⇒B))⇒￢Aは(A⇒B)と言う命題を証明する方法(背理法)としてのものです。

●という事は、引用文にあるように『・・・真であることを証明したとします。』と仮定してます。A⇒Bを仮定してA⇒Bを証明することです。
　これは「同語反復」と言う間違いです。と指摘したところから議論が大きくずれています。貴方が数論のおかしな例を出して、つられて私も素数の無限についての例を書いたとこで、さらに混乱しています。

補足

続き・・・
●従って、私の経歴がどうであろうと、哲学系であろうが何系の知識であろうが、議論の本質は論理学の問題として、具体例にも関係のない、テーマ式が背理法の根拠の説明になればいいのです。

●その説明の貴方のものが、同語反復なので了解できないだけです。実は論争していた旧友も、同語反復的な説明を指摘されて以来、答えがありません。
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『あいまいにしなきゃいいんだね。
((ψ→￢φ)∧(ψ→φ))→￢ψ　
これをもって、背理法の根拠としていい。
上記『』内による。
　＃何度も書いているけど、　φと￢φ　が同時に帰結する　
　＃これを矛盾意外になんと言いますか？』
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●今回のこの部分も、背理法テーマ式から、純論理式の展開で(数学的に、数学専門家らしく)(A⇒B)に導くことができれば、『矛盾以外になんといいますか?』等と、感情的な主観的な文章でなく論争の余地が無くなります。
　式などは文章で解釈すれば、主観的になる可能性が出ますが、論理学ではその必要もないし、具体例もかえって誤解のもとになります。
●量子力学などは、未だにアインシュタイン以来論争し、一致していない基礎分野があるのです。それが私の専門なので哲学的でもあるのですが。