背理法と対偶証明の違いについて

質問

背理法と対偶による証明は同じと私は考えています。しかし、インターネットを含み、世間では違うというのが定説かのようです。

　従って、違うとお考えの方に、その理屈と根拠を教えて頂きたいのです。

回答No.18

B-juggler

困りましたね。
背理法の考え方が違うのか。

なら私も撤退ですね。
～～～
背理法の適当な例として「素数が無限にある」というのがよく出ます。
　A=素数の集合、B=無限(当然素数の)集合とし、A⇒Bを証明するのです。
￢B=有限集合と仮定(Bの否定)すれば、最大の素数があることになりそれをNmとします。1×2×3×・・・Nm-1×Nm ＋1(Ni∈A)=Nとすれば、Nはどの素数でも割れないので素数であり、Nm＜Nであることになり、有限(Nmまで)としたことに矛盾するというのです。これは何に矛盾するのかという点で、いささか疑問ですが。しかしBが有限と仮定したときには、当然Aの素数の数も有限と仮定したことになり、そこにNmがあるというので、それへの矛盾なのでしょう。つまり￢B⇒￢Aです。(論争相手はこれを認めませんが)
　ところが私の気づきですが、1×2×3×・・・Nm-1×Nm ×N=MとすればNとMの間にはかなりの数が存在します。
　そこには素数も含まれ、具体的に構成すれば分かりますが、Mを割れる数が出てきます。と言う事で、どこまでもこの理屈で、素数を無限に見つけられるかが疑わしいのです。これは多分何処にも出ていないでしょう。
～～～
これはそのまま引用してきました。

＞有限(Nmまで)としたことに矛盾するというのです。これは何に矛盾するのかという点で、いささか疑問ですが。

この疑問をもたれる時点で、私の感覚と違います。

単純に、何に矛盾しているか。￢（Ａ⇒Ｂ）に矛盾している。これだけです。
素数が無限だと言うことを証明したいのですから、
￢（Ａ⇒Ｂ）≡（Ａ∧￢Ｂ）　（ａ）ですよね。

最大の素数Ｎ　に対して、Ｎｍがでてきてしまうわけですから。
（ａ）に反していることに他なりません。
この議論なんですか？
これは申し訳ない、レベルが違いすぎる。
工学をやられてきたのでしょう？量子力学でしょう？
これはにわかに信じられないですがね。
ここが分かられてないというのは、いくらなんでもまずいですよ。
　＃私も単位これだと出せませんね　しかも素数の無限性ですから・・。もろに私の領域ですよ。

この調子だと、私の例も理解されて無いですね。。。

はっきりしました。
「背理法」理解されていないのはそちらですよ。
　＃ついでに、代数学も。それにまつわる、代数学的論理も。

＞しかしBが有限と仮定したときには、当然Aの素数の数も有限と仮定したことになり、そこにNmがあるというので、それへの矛盾なのでしょう。つまり￢B⇒￢Aです。(論争相手はこれを認めませんが)

これが違いますから。
何に対して矛盾をしているか？そこの捕らえ方が間違っています。
これは確かに他のところでもそのようですね。

確かに議論にならない。聞こうとされない相手に聞かせる事はできないので。

ついでに　＞1×2×3×・・・Nm-1×Nm ×N=M　ですか。
これは今の証明に関係ありませんね。
全く別の問題です。なんらのつながりもありません。

何が証明したかったのか？　それすらお分かりになってないじゃないですか！　論理学に疎い私から見ても、これはどうしようもないですね。

ついでなんで、ＭとＮの間はかなり広い？　そうですか。
そこに素数があるかどうか、検証してみないと分かりませんね。
どういう素数が考えられますか？　検証で出してみてください。
申し訳ない、こんなのは一目です。
　＃私の例題に答えないのが、わざとなら、私もこれ答えません。
　＃自力でどうぞ！

まぁちゃんとこれは出していきます。
((ψ→￢φ)∧(ψ→φ))→￢ψ　（１）

この式知りませんでした。ただ今は、これを持って背理法だと言えます。
Ψが一つの命題。φはその帰結です。
（１）式　十分条件部は　Ψについて、ある矛盾した帰結（φ・￢φです）が同時に得られたことを、示しています。
必要条件は、命題Ψの否定。Ψは命題として成立していない。

この式は、こうした！式ではありませんか？
こういう風に置いたものではないかと推測しています。
そうであれば「正しい式」と見えます。

これがなぜか？　私前回かいてます。記載済みとありますが、ありませんよ。

それにも触れないのですね。
「机上の空論」はいりません。
実地の計算に、異常なまでに弱いようです。
だから根拠のない事を言われるのか。
　＃完全数が｛２の（素数ｐ－１）乗｝×｛２の（素数ｐ）乗　－１｝
　＃であらわされることを証明してください。
　＃さらに、得られた完全数は、１から（２＾ｐ）－１までの和で
　＃あらわされることを示し、背理法を用いてそれを証明してください。
当然出来ますよね。ほとんど答え書いていますからね。

妄信的に信じている　のは、私たちではなく、あなたです。

この命題を考えてください。
「ある既定の式について強固に否定をし続け、確実にこちらが正しいと自説を曲げず、その既定の式について証明をしようとしない　のであらば　その既定の式は理解できない」
この命題は真のはずですがね

お礼

＞こまりましたね。
背理法の考え方が違うのか。

なら私も撤退ですね。
～～～
背理法の適当な例として「素数が無限にある」というのがよく出ます。
・・・・・　
省略

＞＞有限(Nmまで)としたことに矛盾するというのです。これは何に矛盾するのかという点で、いささか疑問ですが。

＞の疑問をもたれる時点で、私の感覚と違います。

●背理法とは感覚の問題ではありません。
　帰謬法と言う言い方もありますが、お得意の代数の例て言えば、「零元は一つしかない」と言う例にしましょう。これは一般の『体』でも『線形代数』でもいいですが、零元の定義は略しても大丈夫ですね。
「ある元が零元⇒一つしかない」と形式化できます。

●異なる零元が２個あると仮定して、それを０と０#します。
０＋０#=０#=０#＋０=０で、その零元０と０#は同一になり証明されます。
乗法が許されるものなら単位元でも同様です。各種テキストで良く出ていますが、背理法で・・・と書いてあり、上記のように簡単な証明です。
　これは私見ではなく、共通したテキストの記述です。

＞純に、何に矛盾しているか。￢（Ａ⇒Ｂ）に矛盾している。これだけです。
素数が無限だと言うことを証明したいのですから、
￢（Ａ⇒Ｂ）≡（Ａ∧￢Ｂ）　（ａ）ですよね。

●このことに異論はないですよ。「￢（Ａ⇒Ｂ）に矛盾している」従って
Ａ⇒Ｂが成立しているのです。しかし、この矛盾の相手がＡを有限と仮定したことか、つまり￢Ｂ⇒￢Ａでなのかは、『素数は無限集合である』とした文ではＡをどう定義するかで、微妙だろうと言うたけです。
　ちょっと微妙な例を以後に出しすぎましたかね。無限が含まれるとかなりややこしい事が絡みますよ。

補足

省略

これは申し訳ない、レベルが違いすぎる。
工学をやられてきたのでしょう？量子力学でしょう？
これはにわかに信じられないですがね。
ここが分かられてないというのは、いくらなんでもまずいですよ。

省略

　すぐ感情的になのは、日本人のディベート下手の謂われです。
記号の計算も怪しいので、単位やれないと言ったのがお気に障りましたかね。もっと自信を持たなければ議論などはできませんよ。

省略

＞＞しかしBが有限と仮定したときには、当然Aの素数の数も有限と仮定したことになり、そこにNmがあるというので、それへの矛盾なのでしょう。つまり￢B⇒￢Aです。(論争相手はこれを認めませんが)

＞れが違いますから。
ついでに　＞1×2×3×・・・Nm-1×Nm ×N=M　ですか。
これは今の証明に関係ありませんね。
・・・・・・
ついでなんで、ＭとＮの間はかなり広い？　そうですか。

●1,2,3,5,7,・・・この位から例の式で計算して素数を作れば、私の言う事が分かります。このスレッドはスペース限られてるので、ご自分でどうぞ。多分知らないことでしょうね。
　数論に興味があるようなので、ついでに出しただけですが失敗です。
答えを求めてはいませんよ。

省略

＞ぁちゃんとこれは出していきます。
((ψ→￢φ)∧(ψ→φ))→￢ψ　（１）

＞の式知りませんでした。ただ今は、これを持って背理法だと言えます。
Ψが一つの命題。φはその帰結です。
（１）式　十分条件部は　Ψについて、ある矛盾した帰結（φ・￢φです）が同時に得られたことを、示しています。
必要条件は、命題Ψの否定。Ψは命題として成立していない。
この式は、こうした！式ではありませんか？

省略

妄信的に信じている　のは、私たちではなく、あなたです。
この命題は真のはずですがね

●今ごろテーマを取り違えるとはね。この式が背理法だとして、自信のある理論を求めているのです。
従って『こうした！式ではありませんか？』『この命題は真のはずですがね』というような、自信の無さそうな主観的な回答は求めていません。
　少なくとも式で厳密に表現できるテーマなのです。文学論議ではありませんよ。