背理法と対偶証明の違いについて

質問

背理法と対偶による証明は同じと私は考えています。しかし、インターネットを含み、世間では違うというのが定説かのようです。

　従って、違うとお考えの方に、その理屈と根拠を教えて頂きたいのです。

回答No.16

B-juggler

前半は数学（私は代数系ですが、ここまでの論理が必要なら単位もらえてないでしょうね）の話です。

哲学と、論理学が違うことをちゃんとお話しないといけないですね。
哲学的論理と、数学的論理では若干違いがでてくるのでは。
この主張は、例題のところで示したかったのですが。
　＃解いてもらえなかったので。しょうがないので。

もちろん、数学的な論理学（代数系の範囲の）はありますが、数学で大切なことは、正しい解を導き出すことですよね。
　＃もちろん論理的整合性は取る必要はありますが。

単純に　Ａ⇒Ｂ　の命題が正しいとする根拠を、背理法で求める。
このときに、￢（Ａ⇒Ｂ）を取って、ここから得られる帰結が、
「矛盾」をはらめば、そこで終わってしまいますよね。

やっぱりやりますか。例を挙げて。私が挙げた例で行きましょう。
線形代数をやられていたのなら、解いてみて頂きたかったのですが。
私の言っていることは分かってもらえると思いますので。

Ｐ⇒Ｑ　としておきます。
素数の話ですよ。割愛しますね、前に書いていますから。
この命題は真です。１～３０までで、Ｐに該当する素数は４つ
「５，１３，１７，２９」これだけです。
で、それぞれ　５＝１＋４　１３＝４＋９　１７＝１＋１６
２９＝４＋２５　全ての右辺は互いに素な二つの数の２乗和ですね。

さて、背理法を取ってみましょう。
￢（Ｐ⇒Ｑ）≡（Ｐ∧￢Ｑ）
この時点で、もう矛盾が出てきますね。
「５，１３，１７，２９」かつ互いに素な二つの数の２乗和でない。
５＝１＋４、１３＝４＋９、１７＝１＋１６、２９＝４＋２５
が矛盾になりますね。　これは（Ｐ⇒Ｑ）からも直接言えますね。

否定を取って、矛盾が出たので、否定が間違い。
実際に計算すると（証明すると）、⇒φ　と置く必要も無く解けてしまう。

数学の問題を解く人間は、ここから先はどうすれば？って言うので困るんです。実際は否定を取って、矛盾を引き出しておしまいですから。

哲学的論理のほうでは、先を考えるのですよね。
そこで、いろいろと考えているんですよ。

で、(7)式は突然ではなく、(5)(6)と出してみていますから。
強引過ぎるとは思いますが。
一番最初の前提式、((ψ→￢φ)∧(ψ→φ))→￢ψ
この式をどうにかして出したいだけですよ。
　＃この式にこだわるつもりもありませんが、他にあったら教えてくだ　さい。
左側は「ある命題について矛盾がありますよ」と言うことですよね
右は「ならばその命題は成立しませんよ」と言う主張でしょう？

ここら辺は数学の実地計算とは変わってきますので。
論理学の世界ですよ。第一、この式自体を知りませんでしたよ、私は。
包含関係や、ド・モルガン、集合論のような数的論理では苦しい気がしています。　（だから困っているんです）

協力して出していきましょうよ。せっかく議論しているんですから。
[(Ａ∧￢B）⇒￢A]≡A⇒B
この式（厳密に言うと私の作った式ではないですよ＾＾）の
左側帰結のところを、￢Ａ　とするのが怪しい！
　＃論理学上まずいと言うことでしょうか。
　＃前述どおり、実地の数学ではそこまで行かないので。
と、感じましたので　φ　としてみたんです。

(5)(6)(7)式の検証をお願いします。

それで引用した部分ですが
『 集合と論理 』 ( p.3-4 ) ​http://pelab.nagaokaut.ac.jp/kondolab/convenience/pdffiles/syugou-r...​
ここです。
権威者が書いているかもしれませんが、正しいかどうかの判断は読んでみてからにしていただけませんか？
典型的な集合論と、その論理形態です。数学的論理の私たちは、反論する余地がありません。
ちなみに、((ψ→￢φ)∧(ψ→φ))→￢ψ　この式は出てきません。
　＃書いてある内容を式にすればこうなるのではないか？と言うレベルです

も一つ　
＞●(1)((A⇒￢B)∧(A⇒B))⇒￢Aが背理法の原理式かと言うのがテーマ。
これはどこからですか？　こんなこと書いた覚えは無いですが。
Ψ＝Ａ　φ＝Ｂ　と置き換えてありますか？Caperさんのかな？
これ置き換えるとすると、Ａは命題でなくてはならないと思いますが。

お礼

前半は数学（私は代数系ですが、ここまでの論理が必要なら単位もらえてないでしょうね）の話です。

●貴方が現役の学生で私が教官なら単位あげません。理数系以外に転部を勧めますし、教師なら退職を勧めます。
何れも適性がなさそうです。(笑い)
　単なる趣味ならご勝手に・・・。

哲学と、論理学が違うことをちゃんとお話しないといけないですね。
哲学的論理と、数学的論理では若干違いがでてくるのでは。
・・・・。゛
●当然多少違いますが、扱うテーマと取り上げる角度が違うだけで、対象になる【論理】での違いはありませんよ。
　(A∨B)と日常言語での(AまたはB)は違います。後者は何れか片方だけが「真」の意味がありますが、前者は両方とも「真」でも片方だけが「真」でもよいのです。しかし数学では、(A∨B)の意味での「真」で、２値の論理学の範囲です。
　哲学的というのがどの時代の哲学か知りませんが、断らない限りその【論理】に違いはありません。「哲学」と言うとき何を読み、何を想定していますか。

省略

・・・数学で大切なことは、正しい解を導き出すことですよね。

●当然ですが、あくまで正しい解は、論理的に出すのです。

・・・・・・・
単純に　Ａ⇒Ｂ　の命題が正しいとする根拠を、背理法で求める。
このときに、￢（Ａ⇒Ｂ）を取って、ここから得られる帰結が、
「矛盾」をはらめば、そこで終わってしまいますよね。

やっぱりやりますか。例を挙げて。私が挙げた例で行きましょう。
・・・・・・
Ｐ⇒Ｑ　としておきます。
素数の話ですよ。割愛しますね、前に書いていますから。
この命題は真です。１～３０までで、Ｐに該当する素数は４つ
「５，１３，１７，２９」これだけです。
で、それぞれ　５＝１＋４　１３＝４＋９　１７＝１＋１６
２９＝４＋２５　全ての右辺は互いに素な二つの数の２乗和ですね。
・・・・・・・
「５，１３，１７，２９」かつ互いに素な二つの数の２乗和でない。
・・・・・

●この後半部分が言えても、背理法でも何でもありませんし、何かが証明されてもいません。
　まず背理法自体が理解されていない、としか思えませんね。
この例題を背理法で証明するのは、どうするのだろうと放置していましたが、背理法の適当な例題ではないのでしょう。ここでのものは証明とはいいませんね。

補足

続き・・・
　背理法の適当な例として「素数が無限にある」というのがよく出ます。
　A=素数の集合、B=無限(当然素数の)集合とし、A⇒Bを証明するのです。
￢B=有限集合と仮定(Bの否定)すれば、最大の素数があることになりそれをNmとします。1×2×3×・・・Nm-1×Nm ＋1(Ni∈A)=Nとすれば、Nはどの素数でも割れないので素数であり、Nm＜Nであることになり、有限(Nmまで)としたことに矛盾するというのです。これは何に矛盾するのかという点で、いささか疑問ですが。しかしBが有限と仮定したときには、当然Aの素数の数も有限と仮定したことになり、そこにNmがあるというので、それへの矛盾なのでしょう。つまり￢B⇒￢Aです。(論争相手はこれを認めませんが)
　ところが私の気づきですが、1×2×3×・・・Nm-1×Nm ×N=Mとすれば
NとMの間にはかなりの数が存在します。
　そこには素数も含まれ、具体的に構成すれば分かりますが、Mを割れる数が出てきます。と言う事で、どこまでもこの理屈で、素数を無限に見つけられるかが疑わしいのです。これは多分何処にも出ていないでしょう。
『２直線とその交点以外で交わる１直線とでなす、一対の錯角が相等しいならば其の２直線は平行である』等と言うのが適当な例です。これを並行でないと仮定して背理法で証明します。この場合直線の公理に矛盾が出ます。この場合はA⇒B≡￢B⇒￢Aからではなく、A∧K1∧K2・・・∧Kn⇒BのKiの一つの直線の公理への矛盾から、
￢B⇒(￢A∨￢K1∨￢K2・・・∨￢Kn)≡￢B⇒￢(A∧K1∧K2・・・∧Kn)
として背理法で、形式は対偶として証明されます。これが私が背理法とは対偶で行うものだという説です。