背理法と対偶証明の違いについて

質問

背理法と対偶による証明は同じと私は考えています。しかし、インターネットを含み、世間では違うというのが定説かのようです。

　従って、違うとお考えの方に、その理屈と根拠を教えて頂きたいのです。

回答No.12

B-juggler

はい、もろもろ了解。
質問の内容は、背理法の根拠を示せばいいのですね。

私は逆も出すのかと思っていました。
「対偶法の証明が背理法と同じものになる」のも示すのかと。
これは好いんですね。

この分野の本職に聞いてきたことと、書いていただいたことを持って
プロの意見としてください。
これでおしまいにします。

回答Ｎ０．９かな？　私が式を立てた分ですが、間違っています。
素直にお詫びします。
　＃（Ａ∧￢Ｂ）が正しくて、（Ａ⇒￢Ｂ）これがちがう
　＃[(￢（Ａ⇒Ｂ）∨￢Ki)]≡[（Ａ⇒Ｂ）∧Ki]　ここも、
　＃　[(￢（Ａ⇒Ｂ）∨￢Ki)]≡￢[（Ａ⇒Ｂ）∧Ki]　こうですね。

で、ですね・・・。

Ｃａｐｅｒさんの書いていただいたことに対して、
これを持って正しいと出来ます。
　＃論理学の専門が言っています。

問題になるところが２番目のところですね。
～～～
　 ところで、背理法によって、仮に、
2) (A∧￢B)→￢A
が証明されたとします。つまり、「 A が真であって、B の否定が真であるときに必ず A の否定が真となる 」ことが証明されたとします。
　 2) という合成命題は恒真命題ではありません。ですから、いまここで、2) という命題が常に真であることを証明したとします。
～～～
これが背理法の元になるところですかね。
　＃私、置き間違えたところ。
「」の中の部分です。
　＞「B の否定が真であるときに必ず A の否定が真となる」
　＞質問者さんからのの引用ですよ。　これだけ見ると、対偶ですね
ここよく見てくださいね。
２番の部分（背理法の部分と言ってもいいかな）は
「Ａが真でかつＢの否定が真である　ならば　必ずＡの否定が真になる」物を探してきます。と言う主張ですから。
式にすると、（Ａ∧￢Ｂ）⇒￢Ａ　（a式にしておきます）ですね。
この（a）式は　対偶の式と明らかに違いますね。

「」のなかの　（Ａが真でかつ）の部分をどかしてはダメですよ。
もう一回背理法を整理しますと、
命題Ａ⇒Ｂ　の証明で、￢（Ａ⇒Ｂ）≡（Ａ∧￢Ｂ）⇒￢Ａ　から
演繹的に、Ki（つまりは矛盾ですね）を捜していく方法ですね。
２番の式は　捜せたと言うことですね。

（Ａ∧￢Ｂ）⇒￢Ａ　なる　Ki　を見つけて、この命題が
「常に真」となることが分かった、としましょう、と言うことです。
　（a）式が常に真　になるように、反証しましょうということですね。　これが出来ているとします。

ここから先はいいでしょうか？
私も間違っていないと思いますし、専門家もＯＫだと。

４番が引っかかるかもしれませんが、真理値表を作ってみてください。
￢（否定）、∧（ＡＮＤ）、⇒（含意）　の真理値が分かれば、
トートロジーだと出て来ます（最悪の場合はそれでも大丈夫）

５番ですね
((A∧￢B)→￢A)∧((A∧￢B)→A)
これが得られます。　このときに元の式　((ψ→￢φ)∧(ψ→φ))→￢ψ
Ψを（Ａ∧￢Ｂ）、φを単体のＡと置き換えてください。

左辺（と言っていいのかどうか）、十分条件のほうが得られますね。

元の式は￢Ψに対してトートロジーですね。

1～５の工程で、元の式を得ることが出来ました。

私が分からなかったのは、Ψが単体のＡのようなものだと思っていたんですよ。条件の一つだと。
これがちょっと違いましたね。
対して、φ　はそのまま条件の一つなんですよね。

Ｃａｐｅｒさんとkabaokabaさんへ改めて御礼を。

お礼

はい、もろもろ了解。
質問の内容は、背理法の根拠を示せばいいのですね。

・・・・・・、書いていただいたことを持って
プロの意見としてください。
これでおしまいにします。

● 質問の私の内容は、kabaokabaさんの((ψ→￢φ)∧(ψ→φ))→￢ψが　背理法の根拠式と言う説に対しての説明です。彼は途中で逃げ出したの　です。
●貴方もこれでお終いと、正しいかどうかが未定の内に、逃げないように　してください。

回答Ｎ０．９かな？　私が式を立てた分ですが、間違っています。
素直にお詫びします。
・・・・・・・・　
で、ですね・・・。

Ｃａｐｅｒさんの書いていただいたことに対して、
これを持って正しいと出来ます。
　＃論理学の専門が言っています。

●専門家が言おうと、子供が言おうと間違いは間違いで、正しいものは正しいのです。

問題になるところが２番目のところですね。
これが背理法の元になるところですかね。

省略

２番の部分（背理法の部分と言ってもいいかな）は
「Ａが真でかつＢの否定が真である　ならば　必ずＡの否定が真になる」物を探してきます。と言う主張ですから。
式にすると、（Ａ∧￢Ｂ）⇒￢Ａ　（a式にしておきます）ですね。
この（a）式は　対偶の式と明らかに違いますね。

「」のなかの　（Ａが真でかつ）の部分をどかしてはダメですよ。

省略

●（Aが真でかつ）の部分を私がどかしたとのことですが、ご希望通りに
（Aが真でかつ）を入れて（A∧￢B）⇒￢Aとしましょう。
[(Ａ∧￢B）⇒￢A}≡{￢(A∧￢B）∨￢A]≡￢A∨B∨￢A≡￢A∨B≡A⇒B
となります。つまりA⇒Bを証明するときに、￢B⇒￢Aを仮定するのはダメ
と言う私の反論に対して、今度はA⇒Bを証明する前提にA⇒Bを仮定しているのです。これは同語反復と言う恥ずべき論法ですよ。
・・・・・・・・・

●　従って、以下の理屈には論ずべき価値はありません。専門家の意見などに惑わされず自ら考えるべきです。

省略

Ｃａｐｅｒさんとkabaokabaさんへ改めて御礼を。

●礼など言うのは全員が恥をかくことで、不要なことです。
　教えていただく筈の先生に申し訳ありませんが、酷すぎますよ。