- ベストアンサー
平均値の定理を使った証明問題
hanabutakoの回答
- hanabutako
- ベストアンサー率54% (492/895)
1はちょっと考えてみたのですが、自分も思いつかないですね。 2はf(x)が(a,b)で微分可能であるので、g(x)=f(e^x)は(log a, log b)で微分可能である。 ([a,b]で連続というのは仮定していいんですよね?) g'(x) = e^x f(e^x) よって、平均値の定理より、.... で解けます。
関連するQ&A
- コーシーの平均値の定理の問題です。
f(x),g(x)は[a,b]で連続かつ(a,b)上微分可能とする。さらに、g(x)が狭義単調増加関数であるとき、コーシーの平均値の定理、すなわち f(b)-f(a)/g(b)-g(a)=f'(c)/g'(c) c∈(a,b) となるcがあることをつぎのように証明せよ。 閉区間[g(a),g(b)]で定義される関数h(x)=f(g^-1(x))に平均値の定理を適用するです。 わかるかたがおられたら是非とも教えてください。よろしくお願いします。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- コーシーの平均値の定理
[定理] f(x),g(x)閉区間[a,b]で連続、開区間(a,b)で微分可能、かつ(a,b)でg'(x)≠0とすれば、 {f(b)-f(a)}/{g(b)-g(a)}=f'(c)/g'(c) (a<c<b) となるcが存在する。 ________________________________ (問)この定理は平均値の定理の拡張とみなせるみたいですが、なんとなくそういう雰囲気は感じても、納得できません。 どのように求めればいいのでしょうか? (問)また、平均値の定理から {f(b)-f(a)}/(b-a)=f'(c) {g(b)-g(a)}/(b-a)=g'(c) (a<c<b) これらを辺々割れば、上の定理が得られる。 という簡単な証明をしてみたんですが、これでは不正解らしいです。 どこが悪いのでしょうか?
- ベストアンサー
- 数学・算数
- コーシーの平均値の定理の証明(高校数学)
2つの関数f(x)g(x)が[a,b]で連続、(a,b)において微分可能であるとする。 g(a)≠g(b)かつ(a,b)でg´(x)≠0のとき、 a<c<bかつ {f(b)-f(a)}/{g(b)-g(a)}=f´(c)/g´(c) を満たす実数cがそんざいする。 証明についてその最初に k={f(b)-f(a)}/{g(b)-g(a)}とする F(x)=f(b)-f(x)-k{g(b)-g(x)}とする関数F(x)を考えるとあるのですが、 どのようにかんがえて関数F(x)というものを発想したのでしょうか? 理論的背景など教えてください
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 数学証明問題ヒントをください
中3です。数学の得意な方、以下の証明問題の解法のヒントをもらえないでしょうか。 糸口がまったく見えません。 【問題】 実数a、b、c(a≠0)が、b/a・c/a>1、b/a+c/a≧-2を満たすとき、a,b,cは同符号であることを証明せよ。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- ロルの定理の証明
まず、ロルの定理とは関数 f(x)が閉区間 (a,b)で連続、開区間 (a,b)で微分可能でf(a)=f(b)ならば f ' (c)=0, a<c<b を満たす実数cが存在する。 証明 (1) f(x) が定数のとき 常にf ' (x) =0 であるから、明らかに定理は成り立つ。 つ ※なぜ成り立つのでしょうか。簡単な例をあげていただきたいのですが。 (2) f(x)が定数ではないとき f(x)は閉区間(a,b)で連続であるから、最大値、最小値の定理より、この区間で最大値と最小値をもつ。 (i) f(a) = f(b)が最大値をとる点のx座標をcとすると、a<c<bであるから、a<c<bであるから、a<c+⊿x<bを満たす⊿xに対して f(c+⊿x) ≦ f(c) となる。 ゆえに、⊿x>0 のときf(c+⊿x) -f(c) /⊿x ≦ 0 (1) ⊿x<0 のときf(c+⊿x) -f(c) /⊿x ≧ 0 (2) f(x)はx=cで微分可能であるから lim(⊿x→0) f(c+⊿x) -f(c) /⊿x = f ' (c) (1)より、f ' (c) ≦ 0 (2)より、f ' (c) ≧ 0 したがって f ' (c) =0 (ii) f(a) = f(b) が最大値であるとき、最小値をとる点をcとすると、a<c<b となる。 (1), (2)からロルの定理は成り立つ。 終 ※ (2)の部分に関していえば、cが最大値となるような、a,b間で連続のなめらかな曲線を書くと、f(c+⊿x) < f(c) であることが読み取れるので理解できるのですが、その逆の⊿x>0 のときf(c+⊿x) -f(c) /⊿x ≦ 0 の場合において、f(c+⊿x) は c + x の位置は c の左側 0より、またcが最大値なので、f(c+⊿x) < f(c) には変わりなし。 ただし、⊿x で割るので、f(c+⊿x) -f(c) /⊿x ≧ 0 となる。といった解釈でよろしいでしょうか。 次に、f(x)はx=cで微分可能であるから lim(⊿x→0) f(c+⊿x) -f(c) /⊿x = f ' (c) この式は微分係数の定義により導いたと思うのですが、いまいち、この式がぱっと頭にうかびません。 グラフを使ってこの式の導き方を表すことは可能ですか。 お願いします。
- 締切済み
- 数学・算数
- 平均値の定理の変形のθの意味
(平均値の定理):関数f(x)が閉区間[a,b]において連続、(a,b)において微分可能ならば、 a<c<bにおいて、{f(b)-f(a)}/b-a=f´(c)を満たすcが存在する。 (その変形) b=a+h、θ=(c-a)/(b-a)とすると、 0<θ<1において、f(a+h)=f(a)+hf´(a+θh)を満たすθが存在する。 θと言う角度の記号を使っているのはなぜですか?
- ベストアンサー
- 数学・算数
お礼
ご回答ありがとうございました。